Question

如圖，已知一次函數(shù)y=-

1

3

x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及線段的AB的長度；
（2）在如圖的坐標(biāo)系中給△AOB拼接一個(gè)直角三角形（不重疊且無縫隙的拼接），使得拼成的圖形是以AB為邊的等腰△ABP的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：常規(guī)題型

分析：（1）根據(jù)直線AB的解析式可以求得A，B的坐標(biāo)，即可求得AB的長度；
（2）分3種情況討論：①BP=BA，②AP=AB，③PA=PB．

解答：解：（1）直線AB解析式為y=-

1

3

x+1，
∵x=0時(shí)，y=1，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，1）
∵y=0時(shí)，x=3，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，0）
AB=

12+32

=

10

．
（2）如圖，

①點(diǎn)B為直角，則存在點(diǎn)P和P'滿足BP=BA，
∵PB⊥AB，
∴直線PB的斜率為3，
設(shè)直線PB為y=3x+b，代入點(diǎn)B得：b=1，
∴直線PB解析式為y=3x+1，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，3x+1），則x²+（3x+1-1）²=10，
解得x=1或-1，y=4或-2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），（-1，-2）．

②點(diǎn)A為直角，則存在點(diǎn)P滿足滿足AP=BA，
∵PB⊥AB，
∴直線AP的斜率為3，
設(shè)直線PA為y=3x+b，代入點(diǎn)A得：b=-9，
∴直線PB解析式為y=3x-9，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，3x-9），
則（x-3）²+（3x-9）²=10，
解得x=2或4，y=-3或3．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），（4，3）．

③C為AB中點(diǎn)，點(diǎn)C中點(diǎn)為（

3

2

，

1

2

）則存在點(diǎn)P滿足滿足CP=BC，
∵PC⊥AB，
∴直線CP的斜率為3，
設(shè)直線PC為y=3x+b，代入點(diǎn)C得：b=-4，
∴直線PC解析式為y=3x-4，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，3x-4），
則(x-

3

2

)2+(3x-4-

1

2

)2=

10

4

，
解得x=1或2，y=-1或2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），（2，2）．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）或（2，2）或（1，4）或（-1，-2）或（2，-3）或（4，3）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系交點(diǎn)的求解，考查了等腰直角三角形的腰長相等的性質(zhì)．本題中分類討論點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．