Question

14．在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點，OC=OA．
（1）如圖（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）如圖（2）若E是AB延長線上的一點，BE=AD，連接CE，則在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出圖（2）中面積等于△BCE面積的所有三角形（△BCE除外）．

Answer 1

分析 （1）首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA，再由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出OB=OD，證出四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)得出△ABC的面積=△ADC的面積=△ABD的面積=△BCD的面積，再由已知條件得出BE=AB，得出△ABC的面積=△ADC的面積=△ABD的面積=△BCD的面積=△BCE的面積，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：在△ABC和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{BC=DC}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BCA=∠DCA，
∵BC=DC，
∴OB=OD，
又∵OC=OA，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB=AD，
∴四邊形ABCD是菱形；
（2）解：圖（2）中面積等于△BCE面積的三角形為△ABC、△ADC、△ABD、△BCD．理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△ABC的面積=△ADC的面積=△ABD的面積=△BCD的面積，
∵BE=AD，AB=AD，
∴BE=AB，
∴△BCE的面積=△ABC的面積，
∴△ABC的面積=△ADC的面積=△ABD的面積=△BCD的面積=△BCE的面積，
∴圖（2）中面積等于△BCE面積的三角形為△ABC、△ADC、△ABD、△BCD．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．