Question

8．如圖，將一張邊長為4的正三角形紙片剪成四個全等的小正三角形，得到4個小正三角形；然后將其中的一個三角形再剪成四個全等的小正三角形，得到7個小正三角形，根據以上操作，若得到151個小正三角形時，則最小的正三角形的面積等于$\frac{\sqrt{3}}{{4}^{49}}$．

Answer 1

分析 根據已知第一次操作后得到4個小正三角形，第二次操作后得到7個小正三角形；第三次操作后得到10個小正三角形；…繼而即可求出剪m次時正三角形的個數為151，即可得出其面積．

解答 解：∵第一次操作后得到4個小正三角形，第二次操作后得到7個小正三角形；第三次操作后得到10個小正三角形，
∴第m次操作后，總的正三角形的個數為3m+1．則：151=3m+1，
解得：m=50，
故若要得到151個小正三角形，則需要操作的次數為50次，
∵第一次操作后小正三角形面積為：$\frac{1}{2}$×2×2sin60°=$\sqrt{3}$，
第二次操作后小正三角形面積為：$\frac{1}{2}$×1×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
第三次操作后小正三角形面積為：$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{{4}^{2}}$，
∴第50次操作后最小正三角形的面積為：$\frac{\sqrt{3}}{{4}^{49}}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{{4}^{49}}$．

點評 此題主要考查了圖形的變化類，根據已知得出第m次操作后，總的正三角形的個數為3m+1是解題關鍵．