Question

6．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與坐標軸分別交于A、B兩點，已知點A的坐標為（0，8），點B的坐標為（8，0），OC、AD均是△OAB的中線，OC、AD相交于點F，OE⊥AD于G交AB于E．
（1）點C的坐標為（4，4）；
（2）求證：△AFO≌△OEB；
（3）求證：∠ADO=∠EDB．

Answer 1

分析 （1）先求出OA，OB進而求出OC，再用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，設出點C的坐標，即可得出結論；
（2）先判斷出∠AOC=∠OBA，再利用互余判斷出∠OAD=∠EOD，即可得出結論；
（3）先確定出OE的解析式，進而求出點E的坐標，即可求出直線DE的解析式，進而判斷出OA=OM，即可得出結論．

解答 解：（1）A（0，8），B（0，8），
∴AB=8$\sqrt{2}$，OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OC是△AOB的中線，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=4$\sqrt{2}$，
設直線AB的解析式為y=kx+b，
∵B（8，0），A（0，8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+8，
設點C（m，-m+8），OC=$\sqrt{{m}^{2}+（-m+8）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴m=4
∴C（4，4）；

（2）由（1）知，OC是等腰直角三角形的斜邊的中線，
∴∠AOC=45°=∠OBA，
∵OE⊥AD，
∴∠EOD+∠ODA=90°，
∵∠ADO+∠OAD=90°，
∴∠OAD=∠EOD，
在△AOF和△OBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠OBE}\\{OA=OB}\\{∠OAF=∠BOE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△OBE；

（3）如圖，∵AD是△AOB的中線，
∴OD=BD，
∵B（8，0），
∴D（4，0），
∴直線AD的解析式為y=-2x+8，
∵OE⊥AD，
∴直線OE的解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
∵點E在直線AB上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{16}{3}}\\{y=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{16}{3}$，$\frac{8}{3}$），
∵D（4，0），
∴直線DE的解析式為y=2x-8，
∴OM=8，
∴OA=OM，
∵OB⊥OA，
∴AD=MD，
∴∠ADO=∠MDO．
∵∠EDB=∠MDO，
∴∠ADO=∠EDB．

點評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，解（1）的關鍵是求出OC，解（2）的關鍵是判斷出∠OAD=∠EOD，解（3）的關鍵是確定出點E的坐標．