Question

如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點(diǎn)C，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且∠D=2∠CAD．
（1）求∠D的度數(shù)；
（2）若CD=1，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OCD=90°，加上∠A=∠OCA，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠COD=2∠A，由于∠D=2∠CAD，所以∠COD=∠D，于是可判斷△COD為等腰直角三角形，于是得到∠D=45°；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得CO=CD=1，OD=

2

CD=

2

，則OB=OC=1，然后利用BD=OD-OB進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）∵PD切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∴∠COD=2∠A，
∵∠D=2∠CAD，
∴∠COD=∠D，
∴△COD為等腰直角三角形，
∴∠D=45°；
（2）∵△COD為等腰直角三角形，
∴CO=CD=1，OD=

2

CD=

2

，
∴OB=OC=1，
∴BD=OD-OB=

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．