Question

19．如圖，正方形OEFG繞著邊長為30的正方形ABCD的對角線的交點O旋轉(zhuǎn)，邊OE、OG分別交邊AD、AB于點M、N．
（1）求證：OM=ON；
（2）設(shè)正方形OEFG的對角線OF與邊AB相交于點P，連結(jié)PM．若PM=13，試求AM的長；
（3）連接MN，求△AMN周長的最小值，并指出此時線段MN與線段BD的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）首先判斷出∠OAM=∠OBN，∠AOM=∠BON，然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△AOM≌△BON，即可判斷出OM=ON．
（2）首先根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△POM≌△PON，PN=PM=5；然后根據(jù)△AOM≌△BON，判斷出BN=AM；最后在Rt△AMP中，根據(jù)AM²+AP²=PM²，求出AM的長是多少即可．
（3）首先根據(jù)在Rt△AMN中，AM²+AN²=MN²，判斷出當x=15時，即AM=15時，線段MN的長度最小，并求出此時MN、AN的值，求出△AMN周長的最小值是多少；然后判斷出MN是△ABD的中位線，即可判斷出MN∥BD，且MN=$\frac{1}{2}BD$．

解答 （1）證明：在正方形ABCD中，∠OAM=∠OBN=45°，OA=OB，
∵∠AOM+∠AON=∠EOG=90°，∠BON+∠AON=∠AOB=90°，
∴∠AOM=∠BON，
在△AOM和△BON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAM=∠OBN}\\{OA=OB}\\{∠AOM=∠BON}\end{array}\right.$
∴△AOM≌△BON，
∴OM=ON．

（2）解：∵OF是正方形OEFG的對角線，
∴∠POM=∠PON，
在△POM和△PON中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=ON}\\{∠POM=∠PON}\\{OP=OP}\end{array}\right.$
∴△POM≌△PON，
∴PN=PM=13，
∵△AOM≌△BON，
∴BN=AM，
設(shè)AM=BN=x，
則AP=AB-BN-PN=30-x-13=17-x，
在Rt△AMP中，
AM²+AP²=PM²，
即x²+（17-x）²=13²，
解得x₁=5，x₂=12，
所以AM的長為5或12．

（3）設(shè)AM=BN=x，
則AN=AB-BN=30-x，
在Rt△AMN中，
AM²+AN²=MN²，
即MN²=x²+（30-x）²=2（x-15）²+450
∴當x=15時，即AM=15時，線段MN的長度最小，
此時MN=$\sqrt{450}=15\sqrt{2}$，
AN=30-x=30-15$\sqrt{2}$，
∴△AMN周長的最小值是30+15$\sqrt{2}$．
∵點M是AD的中點，點N是AB的中點，
∴MN是△ABD的中位線，
∴MN∥BD，且MN=$\frac{1}{2}BD$．

點評 （1）此題主要考查了幾何變換綜合題，以及線段的最大值、最小值的求解，考查了分析推理能力，要熟練掌握．
（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．
（3）此題還考查了直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及三角形的中位線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．