Question

【問題情景】
我們知道，多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角，叫做多邊形的外角．
如圖1所示，∠CBD、∠BAF、∠ACE是△ABC的三個外角，下面我們來探究∠CBD、∠BAF、∠ACE和△ABC三內角之間的數量關系．

【方法感悟】
解：因為在△ABC中，
∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
所以∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC．
因為∠ABC+∠CBD=180°，
所以∠CBD=180°-∠ABC．
所以∠CBD=∠BAC+∠ACB．
同理可得：∠BAF=∠ABC+∠ACB，∠ACE=∠BAC+∠ABC．
因此，我們得到一個重要的結論：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．
【解決問題】
問題一：
已知：如圖2，∠FDC與∠ECD分別為△ADC的兩個外角，請直接利用上述結論，試探究∠FDC+∠ECD與∠A的數量關系．
問題二：
已知：如圖3，在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，試探究∠P與∠A的數量關系．
問題三：
已知：如圖4，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試利用上述結論直接寫出∠P與∠A+∠B的數量關系．

 

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Answer 1

考點：多邊形內角與外角,三角形內角和定理,三角形的外角性質

專題：探究型

分析：（1）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根據三角形內角和公式即可求解；
（2）根據角平分線的定義和三角形內角和定理可得∠P與∠A的數量關系；
（3）根據角平分線的定義和四邊形內角和定理可得∠P與∠A+∠B的數量關系．

解答：解：（1）∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A．
（2）∵DP平分∠ADC，
∴∠PDC=

1

2

∠ADC．
同理，∠PCD=

1

2

∠ACD．
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A；
（3）∵DP平分∠ADC，
∴∠PDC=

1

2

∠ADC．
同理，∠PCD=

1

2

∠BCD．
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD=180°-

1

2

（360°-∠A-∠B）=

1

2

（∠A+∠B）．
故答案為：∠P=

1

2

（∠A+∠B）．

點評：本題考查了三角形的外角性質，角平分線的定義，三角形的內角和定理，多邊形的內角和公式，此類題目根據同一個解答思路求解是解題的關鍵．