Question

10．在直角坐標(biāo)平面中直線l₁經(jīng)過點(diǎn)A（-1，-6）、B（3，2），將直線l₁向上平移12個(gè)單位得到直線l₂．
求：
（1）這兩條直線的解析式；
（2）直線l₁和直線l₂之間的距離．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l₁的解析式為y=kx+b，將A（-1，-6）、B（3，2）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法可求出l₁的解析式，根據(jù)“上加下減”的平移規(guī)律可得直線l₂的解析式；
（2）設(shè)直線l₁與x軸交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，直線l₂與x軸交于點(diǎn)G，與y軸交于點(diǎn)H．過O作OM⊥l₁于M，延長(zhǎng)MO交l₂于N，則MN為直線l₁和直線l₂之間的距離．先求出E（2，0），F(xiàn)（0，-4），G（-4，0），H（0，8），根據(jù)勾股定理得到EF=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，GH=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，則利用三角形的面積公式求出OM=$\frac{2×4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，ON=$\frac{4×8}{4\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，則MN=OM+ON=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

解答 解：（1）設(shè)直線l₁的解析式為y=kx+b，
將A（-1，-6）、B（3，2）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-6}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
將直線l₁的解析式為y=2x-4；
∵將直線l₁向上平移12個(gè)單位得到直線l₂，
∴直線l₂的解析式為y=2x-4+12，即為y=2x+8；

（2）如圖，設(shè)直線l₁與x軸交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，直線l₂與x軸交于點(diǎn)G，與y軸交于點(diǎn)H．過O作OM⊥l₁于M，延長(zhǎng)MO交l₂于N，則MN為直線l₁和直線l₂之間的距離．
∵直線l₁的解析式為y=2x-4，直線l₂的解析式為y=2x+8，
∴E（2，0），F(xiàn)（0，-4），G（-4，0），H（0，8），
∴EF=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，GH=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵S_△OEF=$\frac{1}{2}$EF•OM=$\frac{1}{2}$OE•OF，
∴OM=$\frac{2×4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
同理，ON=$\frac{4×8}{4\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴MN=OM+ON=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求直線的解析式，兩平行線之間的距離，三角形的面積，難度適中．準(zhǔn)確求出兩條直線的解析式是解題的關(guān)鍵．