Question

如圖，拋物線y=a（x-1）²+4與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，連接BD、BC，已知點A的坐標為（-1，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求△BCD的面積．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）把點A的坐標（-1，0）代入y=a（x-1）²+4可求出a的值，進而可求出拋物線的解析式；
（2）根據B、C點的坐標求得直線BC的解析式，則可以求得對稱軸與直線BC的交點E的坐標，易求DE的長度；由三角形的面積公式進行解答即可．

解答：解：（1）把點A的坐標為（-1，0）代入y=a（x-1）²+4，得
a（-1-1）²+4=0
解得a=-1．
則該拋物線解析式為：y=-（x-1）²+4；

（2）如圖，設直線BC與對稱軸交于點E．
∵拋物線的解析式為y=a（x-1）²+4，
∴頂點坐標是（1，4），對稱軸為x=1，且C（0，4）．
又∵點A的坐標為（-1，0），
∴B（3，0）．
設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則

3k+b=0 b=4

，
解得

k=- 4 3 b=4

．
則直線BC的解析式為：y=-

4

3

x+4．
∴

y=- 4 3 x+4 x=1

，
解得

x=1 y= 8 3

，
∴E（1，

8

3

），
∴DE=4-

8

3

=

4

3

．
則△BCD的面積=

1

2

DE•OB=

1

2

×

4

3

×3=2，即△BCD的面積是2．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點．解答（2）題時，涉及到了待定系數法求一次函數解析式，拋物線的性質以及三角形的面積求法．