Question

已知如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，
（1）用尺規(guī)在AB邊上作點(diǎn)O，并以點(diǎn)O為圓心作⊙O，使它過A，D兩點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡），并判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系（不需要說明理由）．
（2）若（1）中的⊙O與AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E，AB=6，BD=2

3

．求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形的面積．（結(jié)果保留根號(hào)和π）

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖,直線與圓的位置關(guān)系,扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）根據(jù)題意得：O點(diǎn)應(yīng)該是AD垂直平分線與AB的交點(diǎn)；由∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，與圓的性質(zhì)可證得AC∥OD，又由∠C=90°，則問題得證；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r．則在Rt△OBD中，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，通過解方程即可求得r的值；然后根據(jù)扇形面積公式和三角形面積的計(jì)算可以求得“線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為：S_△ODB-S_扇形ODE=2

3

-

2

3

π”．

解答：解：（1）如圖：連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BC，
即直線BC與⊙O的切線，
∴直線BC與⊙O的位置關(guān)系為相切；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=6-r，
又∵BD=2

3

，
在Rt△OBD中，
OD²+BD²=OB²，
即r²+（2

3

）²=（6-r）²，
解得r=2，OB=6-r=4，
∴∠DOB=60°，
∴S_扇形ODE=

60×π×22

360

=

2

3

π，
S_△ODB=

1

2

OD•BD=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
∴線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為：S_△ODB-S_扇形ODE=2

3

-

2

3

π．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定與性質(zhì)以及扇形面積與三角形面積的求解方法等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．