Question

7．設等邊△ABC的內切圓半徑為2，圓心為I．若點P滿足PI=1，則△ABC與△APC的面積之比的最大值為6．

Answer 1

分析 P滿足PI=1，則P在以I為圓心，以1位半徑的圓上，當P是⊙O和BE的交點時，△ACP的面積最小，即△ABC與△APC的面積之比最大．此時PE=2-1=1，則△ABC與△APC的面積的比值是BE與PE的比值，據此即可求解．

解答 解：點P滿足PI=1，則P在以I為圓心，以1位半徑的圓上．
作BE⊥AC，則BE一定過點I，連接AI．
∵在直角△AIE中，∠IAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，IE=2，
∴AI=2IE=6，
∴BE=IE+BI=IE+AI=2+4=6．
當P是⊙O和BE的交點時，△ACP的面積最小，即△ABC與△APC的面積之比最大．此時PE=2-1=1，
則△ABC與△APC的面積的比值是$\frac{BE}{PE}$=$\frac{6}{1}$=6．
故答案是：6．

點評 本題考查了三角形的內切圓與內心的計算，確定P的位置是解決本題的關鍵．