Question

17．如圖，點M是直線y=2x+3上的動點，過點M作MN垂直x軸于點N，點P是y軸上的動點，當(dāng)以M，N，P為頂點的三角形為等腰直角三角形時點M的坐標(biāo)為（-3，-3）或（-1，1）或（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 分四種情況考慮：當(dāng)M運(yùn)動到（-1，1）時，ON=1，MN=1，由MN⊥x軸，以及ON=MN；又當(dāng)M運(yùn)動到第三象限時，要MN=MP，且PM⊥MN時；若MN為斜邊時，則∠ONP=45°，所以O(shè)N=OP，求出此時M坐標(biāo)；又當(dāng)點M′在第二象限，M′N′為斜邊時，這時N′P=M′P，∠M′N′P=45°，求出此時M坐標(biāo)，綜上，得到所有滿足題意M的坐標(biāo)．

解答 解：如圖1，
當(dāng)M運(yùn)動到（-1，1）時，ON=1，MN=1，
∵M(jìn)N⊥x軸，所以由ON=MN可知，△MNP為等腰直角三角形；
如圖2，當(dāng)M運(yùn)動到第三象限時，要MN=MP，且PM⊥MN，
設(shè)點M（x，2x+3），則有：-x=-（2x+3），
解得：x=-3，
所以點M坐標(biāo)為（-3，-3）．
若MN為斜邊時，則∠ONP=45°，所以O(shè)N=OP，設(shè)點M（x，2x+3），
則有-x=-$\frac{1}{2}$（2x+3），化簡得-2x=-2x-3，
這方程無解，所以這時不存在符合條件的M點；
如圖2，∵當(dāng)點M′在第二象限，M′N′為斜邊時，這時N′P=M′P，∠M′N′P=45°，
設(shè)點M′（x，2x+3），則OP=ON′，而OP=$\frac{1}{2}$M′N′，
∴有-x=$\frac{1}{2}$（2x+3），
解得：x=-$\frac{3}{4}$，
∴M′（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$），
綜上，符合條件的點M坐標(biāo)是（-3，-3），（-1，1），（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）．
故答案為：（-3，-3）或（-1，1）或（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）．

點評 此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了分類討論的思想，分類討論時注意考慮問題要全面，做到不重不漏．