Question

7．如圖，在正方形ABCD中，點E在射線AB上，點F在射線AD上．
（1）若CE⊥CF，求證：CE=CF；
（2）若CE=CF，則CE⊥CF是否成立？若成立，請給出證明，若不成立，請畫圖說明．

Answer 1

分析 （1）首先由正方形的性質(zhì)得CB=CD，利用全等三角形的ASA判定得△BCE和△DCF全等，由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)進行證明即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形
∴CB=CD，∠ABC=∠BCD=∠D=90°
∵CE⊥CF
∴∠ECF=90°
∴∠BCE=∠DCF=90°-∠BCF
在△BCE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠D=90°}\\{BC=DC}\\{∠BCE=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF，
∴CE=CF．
（2）若CE=CF，則CE⊥CF不一定成立
當(dāng)點E在線段AB上，且點F在AD延長線上或當(dāng)點E在AB延長線上，且點F在線段AD上時CE⊥CF成立，證明如下：
∵四邊形ABCD是正方形
∴CB=CD，∠ABC=∠BCD=∠D=90°
∵CE⊥CF
∴∠ECF=90°
∴∠BCE=∠DCF=90°-∠BCF
在△BCE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠D=90°}\\{BC=DC}\\{∠BCE=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF，
∴CE=CF；
當(dāng)點E在線段AB上，且點F在線段AD上或當(dāng)點E在線段AB延長線上，且點F在AD延長線上時，CE⊥CF不成立，如圖如下：
．

點評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，結(jié)合圖形，綜合利用各定理是解答此題的關(guān)鍵．