Question

2．閱讀下面材料：
小駿遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：畫(huà)一個(gè)和已知矩形ABCD面積相等的正方形．小駿發(fā)現(xiàn)：延長(zhǎng)AD到E，使得DE=CD，以AE為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn)D作AE的垂線，交半圓于點(diǎn)F，以DF為邊作正方形DFGH，則正方形DFGH即為所求．
請(qǐng)回答：AD，CD和DF的數(shù)量關(guān)系為DF²=AD•CD．
參考小駿思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：
畫(huà)一個(gè)和已知?ABCD面積相等的正方形，并寫(xiě)出畫(huà)圖的簡(jiǎn)要步驟．

Answer 1

分析 先根據(jù)圓周角定理得到∠AFE=90°，再證明Rt△AFD∽R(shí)t△FED，則利用相似比可得DF：DE=AD：DF，然后根據(jù)比例性質(zhì)得DF²=AD•CD；
解決問(wèn)題：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，則平行四邊形的面積為AM與AD的乘積，然后仿照題目的方法畫(huà)圖．

解答 解：∵AE為直徑，
∴∠AFE=90°，即∠AFD+∠DFE=90°，
而∠DFE+∠E=90°，
∴∠E=∠AFD，
∴Rt△AFD∽R(shí)t△FED，
∴DF：DE=AD：DF，
∴DF²=AD•CD；
故答案為DF²=AD•CD；
解決問(wèn)題：
過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，延長(zhǎng)AD到E，使得DE=AM，以AE為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn)D作AE垂線，交半圓于點(diǎn)F，以DF為邊作正方形DFGH，正方形DFGH即為所求，如圖．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作與-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用相似比得到DF為AD和DE的比例中項(xiàng)．