Question

已知二次函數(shù)y=-x2+

b

3

x+c與x軸交于M（x₁，0），N（x₂，0）兩點，與y軸交于點H．
（1）若∠HMO=45°，∠MHN=105°時，求該二次函數(shù)的解析式；
（2）若|x₁|，|x₂|分別是一個直角三角形兩銳角的正弦值，當點Q（b，c）在直線y=

1

9

x+

1

3

上時，求該二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由已知可得兩個特殊的直角三角形，其公共直角邊OH=c，解直角三角形得OM，ON的長度，用長度表示點M、N的橫坐標，用兩根關(guān)系求待定系數(shù)，確定二次函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）可知x₁=-c，x₂=

3

c，代入已知條件，用待定系數(shù)法解題．

解答：解：（1）依題意得OH=c，∠OHN=60°，解直角三角形得，OM=OH=c，ON=

3

c，
即M（-c，0），N（

3

c，0），
∴-c+

3

c=

b

3

，-c•

3

c=-c，
解得b=3-

3

，c=

3

3

，
故函數(shù)解析式y(tǒng)=-x²+（1-

3

3

）x+

3

3

；

（2）∵|x₁|，|x₂|分別是一個直角三角形兩銳角的正弦值，
∴|x₁|²+|x₂|²=1，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1，
∴（

b

3

）²+2c=1…①，
又∵點Q（b，c）在直線上，
∴c=

b

9

+

1

3

…②，
由①②得

b=1 c= 4 9

或

b=-3 c=0

（不合題意舍去），
∴二次函數(shù)y=-x²+

b

3

x+c的解析式y(tǒng)=-x²+

1

3

x+

4

9

．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，本題涉及解直角三角形，兩根關(guān)系，待定系數(shù)法等知識的綜合運用，要形數(shù)結(jié)合，會把線段長度轉(zhuǎn)化為點的坐標是解題的關(guān)鍵．