Question

如圖1，AB是圓O的直徑，點C在AB的延長線上，AB=4，BC=2，P是圓O上半部分的一個動點，連接OP，CP．

（1）求△OPC的最大面積；
（2）求∠OCP的最大度數(shù)；設(shè)∠OCP=α，當(dāng)線段CP與圓O只有一個公共點（即P點）時，求α的范圍（直接寫出答案）；
（3）如圖2，延長PO交圓O于點D，連接DB，當(dāng)CP=DB，求證：CP是圓O的切線．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）在△OPC中，底邊OC長度固定，因此只要OC邊上高最大，則△OPC的面積最大；觀察圖形，當(dāng)OP⊥OC時滿足要求；
（2）PC與⊙O相切時，∠OCP的度數(shù)最大，根據(jù)切線的性質(zhì)即可求得．再根據(jù)α的最大度數(shù)即可得出結(jié)論；
（3）連接AP，BP通過△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC，從而求得PC是⊙O的切線．

解答：（1）解：∵AB=4，
∴OB=2，OC=OB+BC=4．
在△OPC中，設(shè)OC邊上的高為h，
∵S_△OPC=

1

2

OC•h=2h，
∴當(dāng)h最大時，S_△OPC取得最大值．
觀察圖形，當(dāng)OP⊥OC時，h最大，如答圖1所示：
此時h=半徑=2，S_△OPC=2×2=4．
∴△OPC的最大面積為4．

（2）解：當(dāng)PC與⊙O相切時，∠OCP最大．如答圖2所示：
∵sin∠OCP=

OP

OC

=

2

4

=

1

2

，
∴∠OCP=30°
∴∠OCP的最大度數(shù)為30°．
∴設(shè)∠OCP=α，當(dāng)線段CP與圓O只有一個公共點（即P點）時，0＜α≤30°；

（3）證明：圖3，連接AP，BP．
∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD，
∵

AD

=

PB

，
∴

AP

=

BD

，
∴AP=BD，
∵CP=DB，
∴AP=CP，
∴∠A=∠C
∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠C，
在△ODB與△BPC中，

BC=OB=2 CP=BD ∠C=∠OBD

，
∴△ODB≌△BPC（SAS），
∴∠D=∠BPC，
∵PD是直徑，
∴∠DBP=90°，
∴∠D+∠BPD=90°，
∴∠BPC+∠BPD=90°，
∴DP⊥PC，
∵DP經(jīng)過圓心，
∴PC是⊙O的切線．

點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．