Question

17．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²$-\frac{5}{2}$x+3與y軸交于點C，與x軸交于點A、B（A在B左側(cè)），點M（4，m）在拋物線上，且在對稱軸右側(cè)，點N在拋物線上，△BMN是以BM為直角邊的直角三角形，求N點坐標．

Answer 1

分析 首先求得M的坐標，以及A和B的坐標，利用待定系數(shù)法求得BM的解析式，然后分成B是直角頂點和M是直角頂點兩種情況進行討論，求得另一直角邊的解析式，從而求得N的坐標．

解答 解：在y=$\frac{1}{2}$x²$-\frac{5}{2}$x+3中令x=4，則y=8-10+3=1，
則M的坐標是（4，1）．
在y=$\frac{1}{2}$x²$-\frac{5}{2}$x+3中令y=0，則$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3=0，解得：x=2或3，
則B的坐標是（3，0）．
設(shè)BM的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
則直線BM的解析式是y=x-3．
設(shè)經(jīng)過M且垂直于BM的直線的解析式是y=-x+c，
把（4，1）代入得-4+c=1，解得：c=5，
則解析式是y=-x+5．
根據(jù)題意得$\frac{1}{2}$x²$-\frac{5}{2}$x+3=-x+5，
即x²-3x-4=0，
解得：x=-1或4，
則N的橫坐標是-1，把x=-1代入y=$\frac{1}{2}$x²$-\frac{5}{2}$x+3=6，則N的坐標是（-1，6）；
設(shè)經(jīng)過B且垂直于BM的直線的解析式是y=-x+d，
把（3，0）代入得-3+c=0，解得：c=3，
則解析式是y=-x+3．
根據(jù)題意得$\frac{1}{2}$x²$-\frac{5}{2}$x+3=-x+3，
解得：x=0或3．
當x=0時，y=3，則此時N的坐標是（0，3）．
總之，N的坐標是（-1，6）或（0，3）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及一次函數(shù)的圖象互相垂直的關(guān)系，求得另一直角邊的解析式是本題的關(guān)鍵．