Question

9．如圖1，拋物線y=ax²+bx+4交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y于點C，連接AC、BC，其中CO=BO=2AO

（1）求拋物線的解析式；
（2）點Q為直線BC上方的拋物線上一點，過點Q作QE∥AC交BC于E，作QN⊥x軸于N，交BC于M，當(dāng)△EMQ的周長L最大時，求點Q的坐標(biāo)及L的最大值；
（3）如圖2，在（2）的結(jié)論下，連接AQ分別交BC于F，交OC于G，四邊形BOGF從F開始沿射線FC平移，同時點P從C開始沿折線CO-OB運動，且點P的運動速度為四邊形BOGF平移速度的$\sqrt{2}$倍，當(dāng)點P到達(dá)點B時四邊形BOGF停止運動，設(shè)四邊形BOGF平移過程中對應(yīng)的圖形為B₁O₁G₁F₁，當(dāng)△PFF₁為等腰三角形時，求B₁F長度．

Answer 1

分析 （1）由C（0，4），且OC=0C=2OA求出A、B坐標(biāo)后，待定系數(shù)法求解可得解析式；
（2）由B、C坐標(biāo)可得直線BC解析式、∠MBN=∠NMB=∠QME=45°，由EQ∥AC，OC∥QM知tan∠EQM=tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{2}$，過點E作EH⊥QM于H，設(shè)EH=m，進(jìn)而解直角三角形可得△QEM的三邊長，設(shè)Q（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），則M（x，-x+4），用含x的式子表示△QEM的周長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最值情況；
（3）由A、Q坐標(biāo)可得直線AQ的解析式，繼而知點G、F坐標(biāo)，得△CFG為等腰三角形，設(shè)FF₁=$\sqrt{2}$t，則PC=2t，表示出點F₁、P點的坐標(biāo)，分P在線段CO上運動與點P在線段OB上運動兩種情況，P在線段CO上運動時△PFF₁為等腰三角形有FP=FF₁、PF=PF₁、F₁P=F₁F三種可能，列方程求解可得；點P在線段OB上運動時∠F₁FP＞90°，知要使△PFF₁為等腰三角形，只有FP=FF₁，列方程求解可得．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時，y=4，則C（0，4），
∴OC=4，
又∵OC=0C=2OA，
∴B（4，0），A（-2，0），
又∵B（4，0），A（-2，0）在拋物線y=ax²+bx+4上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+4=0}\\{4a-2b+4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；

（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴直線BC的解析式為y=-x+4，
∴∠MBN=∠NMB=∠QME=45°，
又∵EQ∥AC，OC∥QM，
∴∠EQM=∠CRQ=∠ACO，
∴tan∠EQM=tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
過點E作EH⊥QM于H，設(shè)EH=m，

則QH=2m，EQ=$\sqrt{5}$m，MH=m，EM=$\sqrt{2}$m，
∴QM=3m，
∴m=$\frac{1}{3}$QM，
設(shè)Q（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），則M（x，-x+4），
∴L=$\frac{3+\sqrt{2}+\sqrt{5}}{3}$QM=$\frac{3+\sqrt{2}+\sqrt{5}}{3}$[（-$\frac{1}{2}$x²+x+4）-（-x+4）]
=$\frac{3+\sqrt{2}+\sqrt{5}}{3}$（-$\frac{1}{2}$x²+2x）
=-$\frac{3+\sqrt{2}+\sqrt{5}}{6}$（x-2）²+$\frac{6+2\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{3}$，
又∵0＜x＜4，
∴當(dāng)x=2時，L_max=$\frac{6+2\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{3}$，
∴Q（2，4）．

（3）∵Q（2，4），A（-2，0），
∴AQ的解析式y(tǒng)=x+2，
∴G（0，2），F(xiàn)（1，3），
∴BF=B₁F₁=3$\sqrt{2}$，△CFG為等腰三角形，
設(shè)FF₁=$\sqrt{2}$t，則PC=2t，
∴F₁（1-t，t+3），
當(dāng)P在線段CO上運動時，則0＜t≤2，且P（0，4-2t），
①若FP=FF₁時，則1+（1-2t）²=2t²，
解得：t₁=t₂=1，
∴FF₁=$\sqrt{2}$t=$\sqrt{2}$，
∴B₁F=B₁F₁-FF₁=2$\sqrt{2}$；
②若PF=PF₁時，則1+（1-2t）²=（1-t）²+（1-3t）²，
解得：t₁=0，t₂=$\frac{2}{3}$，
又∵0＜t≤2，
∴t=$\frac{2}{3}$，
∴FF₁=$\sqrt{2}$t=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴B₁F=B₁F₁-FF₁=$\frac{7\sqrt{2}}{3}$；
③若F₁P=F₁F時，則（1-t）²+（1-3t）²=2t²，
解得：t₁=t₂=$\frac{1}{2}$，
∴FF₁=$\sqrt{2}$t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴B₁F=B₁F₁-FF₁=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
當(dāng)點P在線段OB上運動時，則2＜t＜4，且P（2t-4，0），
∵∠F₁FP＞90°，
∴要使△PFF₁為等腰三角形，則只有FP=FF₁，
∴9+（2t-5）²=2t²，
解得：t=5±2$\sqrt{2}$，
又∵2＜t＜4，
∴t=5-2$\sqrt{2}$，
∴FF₁=$\sqrt{2}$t=5$\sqrt{2}$-4，
∴B₁F=B₁F₁-FF₁=4-2$\sqrt{2}$，
綜上所述，B₁F=$\frac{7\sqrt{2}}{3}$，$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$或4-2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行線的性質(zhì)、解直角三角形、二次函數(shù)的性質(zhì)即等腰三角形的判定等知識點，根據(jù)題意分類討論思想的運用是解題的主線．