Question

4．如圖，直角梯形OABC的頂點C，A分別在x軸、y軸上，AB∥OC，∠AOC=90°，∠OCB=45°，BC=6$\sqrt{2}$，直線DE交OB于點D，交y軸于點E，OD=2BD，且OE，OC的長分別為方程x²-11x+18=0的兩個根（OE＜OC）．
（1）求出點B的坐標(biāo)．
（2）求出直線DE的解析式．
（3）若點P為y軸上一點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Q，使以D，E，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程的解，確定出0E，OC，再根據(jù)勾股定理得出BG，CG，從而得出結(jié)論；
（2）由DH∥AB，得出 $\frac{OD}{OB}=\frac{DH}{AB}=\frac{OH}{OA}$，求出點D的坐標(biāo)，由D，E確定出直線DE解析式；
（3）由（2）知點D，E坐標(biāo)和DE解析式，再結(jié)合菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 （1）如圖1，

∵x²-11x+18=0，
∴x=2或x=9，
∵OE＜OC，
∴OE=2，OC=9，
過點B作BG⊥OC，垂足為G
∵∠OCB=45°，BC=6$\sqrt{2}$，
∴BG=CG=6，
∴OG=3，
∴B（-3，6），
（2）如圖2，

過點D作DH∥AB，交y軸于點H
∴$\frac{OD}{OB}=\frac{DH}{AB}=\frac{OH}{OA}$，
∵OD=2BD，
∴DH=2，OH=4，
∴D（-2，4），
設(shè)直線DE解析式為y=kx+b，
過點D（-2，4），E（0，2），
∴DE解析式為  y=-x+2； 
（3）存在Q，
如圖3，由（2）知，點D（-2，4），E（0，2），
∴DE=2$\sqrt{2}$，
∵四邊形DEPQ是菱形，
∴EP=DE=2$\sqrt{2}$，
∴P₁（0，2$\sqrt{2}$+2），P₂（0，2-2$\sqrt{2}$），
∵四邊形DEPQ是菱形，
∴DQ∥PE，DQ=DE=2$\sqrt{2}$，
∴Q₁（-2，4+2$\sqrt{2}$），Q₂（-2，4-2$\sqrt{2}$），
由（2）知，直線DE的解析式為y=-x+2，
∴線段DE的垂直平分線的解析式為y=x+4，
∴P₃（0，4），
∴Q₃（-2，2）
∵四邊形DEPQ是菱形，
∴點Q₄與D關(guān)于DP₄對稱，
∴Q₄（2，4）；
綜上所述，存在點Q，使以D、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形；
點Q的坐標(biāo)為：Q₁（-2，4+2$\sqrt{2}$），Q₂（-2，4-2$\sqrt{2}$），Q₃（-2，2）Q₄（2，4）．

點評 此題是四邊形綜合題，用到的知識點是一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似求出線段的長度得出點的坐標(biāo)．