Question

如圖1，梯形中，∥，，．一個動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段方向運動，過點作，交折線段于點，以為邊向右作正方形，點在射線上，當點到達點時，運動結(jié)束．設(shè)點的運動時間為秒（）．

（1）當正方形的邊恰好經(jīng)過點時，求運動時間的值；

（2）在整個運動過程中，設(shè)正方形與△的重合部分面積為，請直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量的取值范圍；

（3）如圖2，當點在線段上運動時，線段與對角線交于點，將△沿翻折，得到△，連接．是否存在這樣的，使△是等腰三角形？若存在，求出對應(yīng)的的值；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）當t=4時，正方形PQMN的邊MN恰好過點D

（2）

 

（3）當時，∆PEF是等腰三角形

【解析】

試題分析：（1）作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別為G、H，可以得出四邊形AGHD為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相關(guān)條件可以得出△ABG≌△DCH，可以求出BG=CH的值，再由勾股定理就可以求出AG=DH的值，就可以求出BP的值，即可以求出結(jié)論t的值；

（2）運用求分段函數(shù)的方法，分四種情況，當0＜t≤3，當3＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8時，運用梯形的面積公式和三角形的面積公式就可以求出S的值；

（3）先由條件可以求出EF=EQ=PQ-EP=4-t，分為三種情況：EF=EP時可以求出t值，當FE=FP時，作FR⊥EP，垂足為R，可以求出t值，當PE=PF時，作PS⊥EF，垂足為S，可以求出t值．

試題解析：（1）如圖2，作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H，則四邊形AGHD是矩形。

∵梯形ABCD中，AB=AD=DC=5，

∴∆ABG≌∆DCH，

∴,

∴當正方形PQMN的邊MN恰好過點D時，點M與點D重合，此時MQ=4，

,

∴當t=4時，正方形PQMN的邊MN恰好過點D。

（2）

如圖1，當0<t≤3時，BP=t,∵

∴，

如圖3，當3<t≤4時，BP=t,

∴

如圖4，當4<t≤7時，BP=t,

∴

如圖5，當7<t≤8時，BP=t,

∴

∴

（3）∵,

∴

∴

由（1）可知則

如圖6，當EF=EP時，

∴

如圖7，當FE=FP時，作FR⊥EP于R，∴

∴

∴

如圖8，當PE=PF時，作PS⊥EF于S，∴

∴

∴

∴當時，∆PEF是等腰三角形。

考點：相似形綜合題．