Question

3．將矩形ABCD折疊，點A與對角線BD上的點G重合，折痕BE交AD于點E，點C與對角線上的點H重合，折痕DF交BC于點F．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）若AB=6，AD=8，求EH的長．

Answer 1

分析 （1）利用矩形性質(zhì)得出∠ABE=∠CDF，∠EBD=∠FDB，進而得出△ABE≌△CDF，即可得出EB∥DF，EB=DF，即可得出答案；
（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠C．
∴∠ABD=∠CDB，
由翻折知，∠ABE=∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠CDF=∠FDB=$\frac{1}{2}$∠CDB，
∴∠ABE=∠CDF，∠EBD=∠FDB，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CDF}\\{AB=CD}\\{∠A=∠C}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴EB=DF，
∵∠EBD=∠FDB，
∴EB∥DF，
∴四邊形EBDF為平行四邊形．

（2）∵AB=6，AD=8，
∴BD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴設EG=x，則AE=x，DE=（8-x），AB=BG=6，則DG=10-6=4，
在Rt△DEG中，DG²+EG²=DE²，
∴4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴EG=3，
∵DH=BG=6，
∴HG=2，
∴EH=$\sqrt{E{G}^{2}+H{G}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

點評 此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的判定以及勾股定理等知識，根據(jù)已知得出△ABE≌△CDF是解題關(guān)鍵．