Question

18．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，過點A（-2$\sqrt{3}$，O）的直線AB交7軸的正半軸于點B，∠ABO=60°．

（1）求直線AB的解析式；（直接寫出結(jié)果）
（2）如圖2，點C是x軸上一動點，以C為圓心，$\sqrt{3}$為半徑作⊙C，當(dāng)⊙C與AB相切時，設(shè)切點為D，求圓心C的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點E在x軸上，△ODE是以O(shè)D為底邊的等腰三角形，求過點O、E、D三點的拋物線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到B（0，2），由待定系數(shù)法即可得到結(jié)論；
（2）如圖3，①當(dāng)⊙C在直線AB的左側(cè)時，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ADC=90°．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，解直角三角形得到AO=2$\sqrt{3}$，于是得到結(jié)論；②根據(jù)對稱性，⊙C還可能在直線AB的右側(cè)，與直線AB相切，此時CO=4$\sqrt{3}$，于是得到C坐標(biāo)為（-4$\sqrt{3}$，0），
（3）如圖4，①⊙C在直線AB的右側(cè)相切時，點D的坐標(biāo)為（$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．此時△ODE₁為等邊三角形．于是得到E₁（$-\sqrt{3}$，0），解方程即可得到結(jié)論；②當(dāng)⊙C在直線AB的左側(cè)相切時，D（$-\frac{{7\sqrt{3}}}{2}$，$-\frac{3}{2}$）設(shè)E₂C=x，則DE₂=x，ME₂=$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$-x，在Rt△MDE₂中，∠DME₂=90°，根據(jù)勾股定理得到E₂（$-\frac{13}{7}\sqrt{3}$，0）．設(shè)過點O、E、D三點的拋物線的解析式為y=a（x+$\frac{13}{7}$$\sqrt{3}$）x，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵A（$-2\sqrt{3}$，0），
∴AO=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°．tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$，OB=$\frac{2\sqrt{3}}{tan60°}$，
∴BO=2，
∴B（0，2），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．
則$\left\{\begin{array}{l}b=2\\-2\sqrt{3}k+b=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\\ b=2\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2；

（2）如圖3，①當(dāng)⊙C在直線AB的左側(cè)時，
∵⊙C與AB相切，
∴∠ADC=90°．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，
∵sin∠DAC=$\frac{CD}{AC}$，
∴AC=$\frac{\sqrt{3}}{sin30°}$=2$\sqrt{3}$，
而AO=2$\sqrt{3}$，
∴C與O重合，
即C坐標(biāo)為（0，0）；
②根據(jù)對稱性，⊙C還可能在直線AB的右側(cè)，與直線AB相切，此時CO=4$\sqrt{3}$，
∴C坐標(biāo)為（-4$\sqrt{3}$，0），
綜上，當(dāng)⊙C與AB相切時，點C坐標(biāo)為（0，0）或（-4$\sqrt{3}$，0）；

（3）如圖4，①⊙C在直線AB的右側(cè)相切時，點D的坐標(biāo)為（$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
此時△ODE₁為等邊三角形．∴E₁（$-\sqrt{3}$，0），
設(shè)過點O、E、D三點的拋物線的解析式為Y=a（x+$\sqrt{3}$）x，
則$\frac{3}{2}=a（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\sqrt{3}）×（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
∴a=-2，
∴y=-2x（x+$\sqrt{3}$）$y=-2x（x+\sqrt{3}）$；
②當(dāng)⊙C在直線AB的左側(cè)相切時，D（$-\frac{{7\sqrt{3}}}{2}$，$-\frac{3}{2}$）
設(shè)E₂C=x，則DE₂=x，ME₂=$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$-x，
在Rt△MDE₂中，∠DME₂=90°，
∴MD²+ME${{\;}_{2}}^{2}$=DE${{\;}_{2}}^{2}$，
即（$\frac{3}{2}$）²+（$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$-x）²=x²，
∴x=$\frac{13}{7}$$\sqrt{3}$，
∴E₂（$-\frac{13}{7}\sqrt{3}$，0）．
設(shè)過點O、E、D三點的拋物線的解析式為y=a（x+$\frac{13}{7}$$\sqrt{3}$）x，
則-$\frac{3}{2}$=a（-$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$+$\frac{13}{7}$$\sqrt{3}$）×（-$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$），
∴a=-$\frac{2}{23}$，
綜上，過點O、E、D三點的拋物線為y=-2x（x+$\sqrt{3}$）或y=-$\frac{2}{23}$x（x+$\frac{13}{7}$$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，圓與直線的位置關(guān)系，勾股定理，解直角三角形，正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．