Question

如圖，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上一點，過點A的切線與CD的延長線相交于點C，BD的延長線交AC于E，△ACD與△DCE相似嗎？為什么？

Answer 1

考點：相似三角形的判定,切線的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：根據(jù)切線的性質(zhì)得BA⊥AC，則∠BAD+∠DAC=90°，再根據(jù)圓周角定理得∠B+∠BAD=90°，則∠B=∠DAC，加上∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，易得∠CDE=DAE，于是可根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似得到△ACD∽△DCE．

解答：解：△ACD與△DCE相似．理由如下：
∵AC為⊙O的切線，
∴BA⊥AC，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠B=∠DAC，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
而∠ODB=∠CDE，
∴∠B=∠CDE，
∠而∠ECD=∠DCA，
∴△ACD∽△DCE．

點評：本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．也考查了圓周角定理和切線的性質(zhì)．