Question

2．已知拋物線c₁：y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為（2，-4），且開口向上，形狀和拋物線c₂：y=（$\sqrt{m-2}$+1）x²+$\sqrt{2-m}$x+2015m相同，直線y=kx-4交拋物線y=ax²+bx+c于A，B兩點(diǎn)．
（1）請你直接寫出拋物線c₁的解析式；
（2）若△AOB的外心正好在線段AB上，求k的值；
（3）已知點(diǎn)M為直線y=kx-4上的一個定點(diǎn)，N點(diǎn)為為拋徹線c₁上的點(diǎn)，Q為線段MN的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N在執(zhí)物線c₁上運(yùn)動時(shí)，Q的運(yùn)動軌跡為c₃，求c₃的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根式有意義的條件求出m的值，再根據(jù)拋物線c₁和拋物線c₂形狀相同，開口向上，即可解決問題．
（2）如圖1中，作AM⊥y軸于M，BN⊥y軸于N．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．首先判斷△AOB是直角三角形，由△AOM∽△OBN，得$\frac{OM}{BN}$=$\frac{AM}{ON}$，即$\frac{-{y}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{{y}_{2}}$，解x₁•x₂+y₁•y₂=0，由
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-4}\\{y={x}^{2}-4x}\end{array}\right.$消去y得x²-（4+k）x+4=0，得x₁+x₂=4+k，x₁•x₂=4，y₁•y₂=（kx₁-4）（kx₂-4）=-16k+16，列出方程即可解決問題．
（3）首先確定定點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)N（m，m²-4m），得線段MN中點(diǎn)Q坐標(biāo)為（$\frac{m}{2}$，$\frac{{m}^{2}-4m-4}{2}$），根據(jù)縱坐標(biāo)y=$\frac{1}{2}$m²-2m-2=2•（$\frac{m}{2}$）²-4•$\frac{m}{2}$-2，橫坐標(biāo)x=$\frac{m}{2}$，由此即可寫出C₃的軌跡．

解答 解：（1）由題意可知$\left\{\begin{array}{l}{m-2≥0}\\{2-m≥0}\end{array}\right.$，解得m=2，
∴拋物線C₂解析式為y=x²+4030，
∵拋物線c₁：y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為（2，-4），且開口向上，形狀和拋物線c₂相同，
∴a=1，
∴拋物線C₁解析式為y=（x-2）²-4=x²-4x．
即拋物線C₂解析式為y=x²-4x．

（2）如圖1中，作AM⊥y軸于M，BN⊥y軸于N．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

∵△AOB的外心正好在線段AB上，
∴△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，
∴∠BON+∠AOM=90°，∠BON+∠OBN=90°，
∴∠AOM=∠OBN，∵∠OMA=∠ONB=90°，
∴△AOM∽△OBN，
∴$\frac{OM}{BN}$=$\frac{AM}{ON}$，
∴$\frac{-{y}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{{y}_{2}}$，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-4}\\{y={x}^{2}-4x}\end{array}\right.$消去y得x²-（4+k）x+4=0，
∴x₁+x₂=4+k，x₁•x₂=4，y₁•y₂=（kx₁-4）（kx₂-4）=-16k+16，
∴4+（-16k+16）=0，
∴k=$\frac{5}{4}$．

（3）如圖2中，

∵M(jìn)為直線y=kx-4上的一個定點(diǎn)，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)（0，-4），設(shè)N（m，m²-4m），
∴線段MN中點(diǎn)Q坐標(biāo)為（$\frac{m}{2}$，$\frac{{m}^{2}-4m-4}{2}$），
∵縱坐標(biāo)y=$\frac{1}{2}$m²-2m-2=2•（$\frac{m}{2}$）²-4•$\frac{m}{2}$-2，橫坐標(biāo)x=$\frac{m}{2}$，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡C₃為y=2x²-4x-2，
∴C₃的解析式為y=2x²-4x-2．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的綜合題、根式的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相似三角形的判定和性質(zhì)、根與系數(shù)關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．