Question

5．如圖，菱形ABCD的邊長為48cm，∠A=60°，動點P從點A出發(fā)，沿著線路AB-BD做勻速運動，動點Q從點D同時出發(fā)，沿著線路DC-CB-BA做勻速運動．
（1）求BD的長；
（2）已知動點P、Q運動的速度分別為8cm/s、10cm/s．經(jīng)過12秒后，P、Q分別到達M、N兩點，若按角的大小進行分類，請問△AMN是哪一類三角形，并說明理由；
（3）設(shè)問題（2）中的動點P、Q分別從M、N同時沿原路返回，動點P的速度不變，動點Q的速度改變?yōu)閍 cm/s，經(jīng)過3秒后，P、Q分別到達E、F兩點，若△BEF與問題（2）中的△AMN相似，試求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=BC=CD=AD=48，加上∠A=60°，于是可判斷△ABD是等邊三角形，所以BD=AB=48；
（2）如圖1，根據(jù)速度公式得到12秒后點P走過的路程為96cm，則點P到達點D，即點M與D點重合，12秒后點Q走過的路程為120cm，而BC+CD=96，易得點Q到達AB的中點，即點N為AB的中點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得MN⊥AB，即△AMN為直角三角形；
（3）根據(jù)△BEF與△AMN相似得到△BEF為直角三角形．由△ABD為等邊三角形得∠ABD=60°，根據(jù)速度公式得經(jīng)過3秒后點P運動的路程為24cm、點Q運動的路程為3acm，所以BE=DE=24cm，然后分類討論：當點Q運動到F點，且點F在NB上，如圖1，則NF=3a，BF=BN-NF=24-3a，由于△BEF為直角三角形，而∠FBE=60°，只能得到∠EFB=90°，所以∠FEB=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得24-3a=$\frac{1}{2}$×24，解得a=4；當點Q運動到F點，且點F在BC上，如圖2，則NF=3a，BF=BN-NF=3a-24，由于△BEF為直角三角形，而∠FBE=60°，若∠EFB=90°，則∠FEB=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得3a-24=$\frac{1}{2}$×24，解得a=12；若∠BEF=90°，易得此時點F在點C處，如圖3，則3a=24+48，解得a=24．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=48，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=AB=48，
即BD的長是48cm；

（2）如圖1，12秒后點P走過的路程為8×12=96，則12秒后點P到達點D，即點M與D點重合，
12秒后點Q走過的路程為10×12=120，而BC+CD=96，所以點Q到B點的距離為120-96=24，則點Q到達AB的中點，即點N為AB的中點，
∵△ABD是等邊三角形，而MN為中線，
∴MN⊥AB，
∴△AMN為直角三角形；

（3）∵△BEF與△AMN相似，△AMN為直角三角形，
∴△BEF為直角三角形．
∵△ABD為等邊三角形，
∴∠ABD=60°，
經(jīng)過3秒后，點P運動的路程為24cm、點Q運動的路程為3acm，
∵點P從點M開始運動，即DE=24cm，
∴點E為DB的中點，即BE=DE=24cm，
當點Q運動到F點，且點F在NB上，如圖1，則NF=3a，
∴BF=BN-NF=24-3a，
∵△BEF為直角三角形，
而∠FBE=60°，
∴∠EFB=90°（∠FEB不能為90°，否則點F在點A的位置），
∴∠FEB=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE，
∴24-3a=$\frac{1}{2}$×24，
∴a=4；
當點Q運動到F點，且點F在BC上，如圖2，則NB+BF=3a，
∴BF=3a-NB=3a-24，
∵△BEF為直角三角形，
而∠FBE=60°，
若∠EFB=90°，則∠FEB=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE，
∴3a-24=$\frac{1}{2}$×24，
∴a=12；
若∠BEF=90°，即BE⊥EF，如圖3，
∵DE=BE，
∴點F在BD的垂直平分線上，
∴此時點F在點C處，
∴3a=24+48，
∴a=24，
綜上所述，若△BEF為直角三角形，a的值為4或12或24．

點評 本題是四邊形的綜合題，其中涉及到菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)，綜合性較強，難度適中．運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．