Question

（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的四個頂點坐標分別為O（0，0），A（4，0），B（4，3），C（0，3），G是對角線AC的中點，動直線MN平行于AC且交矩形OABC的一組鄰邊于E、F，交y軸、x軸于M、N．設(shè)點M的坐標為（0，t），△EFG的面積為S．

（1）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當△EFG為直角三角形時，求t的值；

（3）當點G關(guān)于直線EF的對稱點G′ 恰好落在矩形OABC的一條邊所在直線上時，直接寫出t的值．

 

Answer 1

（1）S=；（2）當△EFG為直角三角形時，t=或t=或t=或t=；（3）t的值為或或或

【解析】

試題分析：（1）①當0＜t＜3時，如圖1，過E作EH⊥CA于H，

∵A（4，0），B（4，3），C（0，3），

∴OA=4，OC=3，AC=5，

∵MN∥CA，

∴△OEF∽△OCA，

∴OE：OC=EF：CA，即t：3=EF：5，

∴EF=t，

∵EH⊥CA，

∴∠ECH=∠OCA，

∴sin∠ECH=sin∠OCA，

∴EG：EC=OA：CA，

即EH：（3﹣t）=4：5，

∴EH=（3﹣t），

∴S=×EF×HE=×t×（3﹣t）=﹣t2+2t；

②當3＜t＜6時，如圖2，過C作CH⊥MN于H，則MC=t﹣3，

∵CH⊥MN，∴∠CMH=∠OCA，∴sin∠CMH=sin∠OCA，

∴CH：MC=OA：CA，即CH：（t﹣3）=4：5，

∴CH=（t﹣3），

易求直線AC解析式為：y=﹣x，

∵MN∥CA，

∴直線MN的解析式為：y=﹣x+t，

令y=3，可得3=﹣x+t，解得x=（t﹣3）=t﹣4，

∴E（t﹣4，3），

在y=﹣x+t中，令x=4可得：y=t﹣3，∴F（4，t﹣3），

∴EF==（6﹣t），

S=×EF×GH=×（t﹣3）=﹣t2+6t﹣12；

綜上可知S=；

（2）①當0＜t＜3時，E（0，t），F(xiàn)（t，0），G（2，），

∴EF2=t2，EG2=22+（t﹣）2，GF2=（t﹣2）2+（）2，

若EF2+EG2=GF2，則有t2+22+（t﹣）2=（t﹣2）2+（）2，解得t=0（舍去），t=﹣（舍去），

若EF2+FG2=EG2，則有t2+（t﹣2）2+（）2=22+（t﹣）2，解得t=0（舍去），t=，

若EG2+GF2=EF2，則有22+（t﹣）2+（t﹣2）2+（）2=t2，解得t=，

②當3＜t＜6時，E（t﹣4，3），F(xiàn)（4，t﹣3），G（2，），

∴EF2=（t﹣8）2+（t﹣6）2，EG2=（t﹣6）2+（）2，GF2=22+（t﹣）2，

若EF2+EG2=GF2，則有（t﹣8）2+（t﹣6）2+（t﹣6）2+（）2=22+（t﹣）2，整理得32t2﹣363t+1026=0，△=441，解得t=，t=6（舍去），

若EF2+FG2=EG2，則有（t﹣8）2+（t﹣6）2+22+（t﹣）2=（t﹣6）2+（）2，整理得6t2﹣79t+258=0，△=49，解得t=6（舍去），t=＞6（舍去），

若EG2+GF2=EF2，則有（t﹣6）2+（）2+22+（t﹣）2=（t﹣8）2+（t﹣6）2，解得t=，

綜上可知當△EFG為直角三角形時，t=或t=或t=或t=；

（3）直線MN為y=﹣x+t，G（2，），

GG′所在的直線與直線CA垂直，且過G點，故表達式為y=x﹣，在y=x﹣中，

令x=0，可得：y=﹣，∴G′（0，﹣），GG′中點（1，），代入直線MN為y=﹣x+t，解得t=，

令y=0，可得：x=，∴G′（，0），GG′中點（，），代入直線MN為y=﹣x+t，解得t=，

令x=4，可得：y=，∴G′（4，），GG′中點（3，），代入直線MN為y=﹣x+t，解得t=，

令y=3，可得：x=，∴G′（，3），GG′中點（，），代入直線MN為y=﹣x+t，解得t=，

綜上可知滿足條件的t的值為或或或

考點:四邊形綜合題