Question

15．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)．與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過(guò)P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D，過(guò)P作PF∥BC．
（1）求證：BD=FD；
（2）當(dāng)P和Q運(yùn)動(dòng)到2秒的時(shí)候，∠BQD=30°，求P和Q的速度．
（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出它的長(zhǎng)度．如果改變，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先證明△AFP是等邊三角形，則AP=PF=BQ，再證明△BDQ≌△FDP，得BD=FD；
（2）設(shè)P和Q的速度為v，則AP=BQ=2v，根據(jù)直角△QPC中，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半列式得出結(jié)論；
（3）作輔助線，構(gòu)建平行四邊形EQBP，先證明△AEP≌△BFQ，得AE=BF，PE=FQ，由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出：?EQBP，則對(duì)角線互相平分，DE=DF=$\frac{1}{2}$EF，因?yàn)镋F=AB，所以DE=3，不會(huì)改變．

解答 證明：（1）如圖1，由題意得：AP=BQ，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵PF∥BC，
∴∠AFP=∠ABC=60°，∠APF=∠C=60°，∠FPD=∠QBD，
∴△AFP是等邊三角形，
∴PF=AP，
∴PF=BQ，
∵∠FDP=∠BDQ，
∴△BDQ≌△FDP，
∴BD=FD；
（2）如圖1，∵∠C=60°，∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
∴QC=2PC，
設(shè)P和Q的速度為v，則AP=BQ=2v，
∴PC=6-2v，QC=6+2v，
則6+2v=2（6-2v），
v=1，
答：P和Q的速度為1；
（3）如圖2，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化，理由是：
作QF⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接QE、PF，
∵PE⊥AB，
∴∠AEP=∠QFB=90°，PE∥FQ，
∵∠A=∠ABC=∠QBF=60°，AP=BQ，
∴△AEP≌△BFQ，
∴AE=BF，PE=FQ，
∴四邊形EQFP是平行四邊形，
∴DE=$\frac{1}{2}$EF，
∵BE+AE=BE+BF=AB，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
∵△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，即AB=6，
∴DE=3，
∴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形的綜合題，考查了等邊三角形、全等三角形、直角三角形的性質(zhì)，還考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，（1）（2）較為基礎(chǔ)，（3）有難度，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建平行四邊形是關(guān)鍵，證明三角形全等是第3問(wèn)的突破口，由對(duì)應(yīng)邊相等，利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分及線段的和進(jìn)行變形，從面得出結(jié)論．