Question

3．AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是⊙O上一個(gè)點(diǎn)，C是弧BE的中點(diǎn)，弦CD⊥AB，G為垂足，且交BE于點(diǎn)H，經(jīng)過點(diǎn)E作⊙O的切線交DC的延長線于點(diǎn)F．
（1）按邊分類，△BCH和△EFH是什么三角形？
（2）如果CE∥AB，求∠EFD．

Answer 1

分析 （1）△BCH和△EFH是等腰三角形，只要證明∠HBC=∠HCB，∠FHE=∠FEH即可解決問題．
（2）如圖2中，連接AC、OC、OE．首先證明$\widehat{BC}$=$\widehat{EC}$=$\widehat{AE}$，推出∠BOC=∠COE=∠AOE=60°，推出△EFH是等邊三角形即可．

解答 解：（1）按邊分類，△BCH和△EFH是等腰三角形．
理由：∵弦CD⊥AB，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∵C是弧BE的中點(diǎn)，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{CB}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BCH=∠EBH，
∴CH=BH，
即△BCH是等腰三角形；
如圖1中，連接OE，

∵EF是⊙O的切線，
∴OE⊥EF，
∴∠OEB+∠FEH=90°，
∵∠EHF=∠BHG，∠BHG+∠OBE=90°，
∴∠EHF+∠OBE=90°，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠EHF=∠FEH，
∴FH=FE，
即△EFH是等腰三角形；

（2）如圖2中，連接AC、OC、OE．

∵EC∥AB，
∴∠ECA=∠BAC，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BC}$，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{EC}$，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{EC}$=$\widehat{AE}$，
∴∠BOC=∠COE=∠AOE=60°，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠AOE=30°，
∵CD⊥AB，
∴∠BGH=90°，∠BHG=∠FHE=60°，
∵FH=FE，
∴△FHE是等邊三角形，
∴∠EFD=60°．

點(diǎn)評 本題考查切線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、等邊三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵的靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．