Question

如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AD交AB于點(diǎn)E，M為AE的中點(diǎn)，BF⊥BC交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BD＝4，CD＝3．下列結(jié)論：①∠AED＝∠ADC；② ；③AC·BE＝12；④3BF＝4AC．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

 

Answer 1

C．

【解析】

試題分析：①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，∠EAD=∠DAC；

②易證△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，AC不一定等于4；

③根據(jù)相似三角形的判定定理得出△BED∽△BDA，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；

④連接DM，可證DM∥BF∥AC，得FM：MC=BD：DC=4：3；易證△FMB∽△CMA，得比例線段求解．

試題解析：①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，

∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAC，∴∠AED=∠ADC．故本選項(xiàng)正確；

②∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，但AC的值未知，故不一定正確；

③由①知∠AED=∠ADC，∴∠BED=∠BDA，

又∵∠DBE=∠ABD，∴△BED∽△BDA，∴DE：DA=BE：BD，由②知DE：DA=DC：AC，

∴BE：BD=DC：AC，∴AC•BE=BD•DC=12．故本選項(xiàng)正確；

④連接DM，則DM=MA．

∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，∴DM∥BF∥AC，

由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=4：3；

由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=4：3，∴3BF=4AC．故本選項(xiàng)正確．

綜上所述，①③④正確，共有3個(gè)．

故選C．

考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．角平分線的性質(zhì)；3．等腰三角形的判定與性質(zhì)．