Question

如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H
（1）求∠APB度數(shù)；
（2）求證：△ABP≌△FBP；
（3）求證：AH+BD=AB．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)可得∠PAB+∠PBA=45°，即可解題；
（2）易得∠DPB=45°，可得∠BPF=135°，即可證明△ABP≌△FBP；
（3）由（2）結(jié)論可得∠F=∠BAD，AP=PF，AB=BF，即可求得∠F=∠CAD，即可證明△APH≌△FPD，可得AH=DF，即可解題．

解答：解：（1）∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=

1

2

（∠ABC+∠BAC）=45°，
∴∠APB=180°-45°=135°；
（2）∵∠APB=135°，
∴∠DPB=45°，
∵PF⊥AD，
∴∠BPF=135°，
在△ABP和△FBP中，

∠BPF=∠APB=135° BP=BP ∠ABP=∠FBP

，
∴△ABP≌△FBP（ASA）；
（3）∵△ABP≌△FBP，
∴∠F=∠BAD，AP=PF，AB=BF，
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠F=∠CAD，
在△APH和△FPD中，

∠F=∠CAD AP=PF ∠APH=∠FPD=90°

，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH=DF，
∵BF=DF+BD，
∴AB=AH+BD．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABP≌△FBP和△APH≌△FPD是解題的關(guān)鍵．