Question

18．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），經(jīng)過A點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)D（2，3）．
（1）求拋物線的解析式和直線AD的解析式；
（2）過x軸上的點(diǎn)（a，0）作直線EF∥AD，交拋物線于點(diǎn)F，是否存在實(shí)數(shù)a，使得以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)B和D的坐標(biāo)代入拋物線y=-x²+bx+c得出方程組，解方程組即可；由拋物線解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)直線AD的解析式為y=kx+a，把A和D的坐標(biāo)代入得出方程組，解方程組即可；
（2）分兩種情況：①當(dāng)a＜-1時(shí)，DF∥AE且DF=AE，得出F（0，3），由AE=-1-a=2，求出a的值；
②當(dāng)a＞-1時(shí)，顯然F應(yīng)在x軸下方，EF∥AD且EF=AD，設(shè)F （a-3，-3），代入拋物線解析式，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）把點(diǎn)B和D的坐標(biāo)代入拋物線y=-x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：b=2，c=3，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
當(dāng)y=0時(shí)，-x²+2x+3=0，
解得：x=3，或x=-1，
∵B（3，0），
∴A（-1，0）；
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+a，
把A和D的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+a=0}\\{2k+a=3}\end{array}\right.$，
解得：k=1，a=1，
∴直線AD的解析式為y=x+1；
（2）分兩種情況：如圖所示：
①當(dāng)a＜-1時(shí)，DF∥AE且DF=AE，
則F點(diǎn)即為（0，3），
∵AE=-1-a=2，
∴a=-3；
②當(dāng)a＞-1時(shí)，顯然F應(yīng)在x軸下方，EF∥AD且EF=AD，
設(shè)F （a-3，-3），
由-（a-3）²+2（a-3）+3=-3，
解得：a=4±$\sqrt{7}$；
綜上所述，滿足條件的a的值為-3或4±$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求拋物線和直線的解析式、平行四邊形的判定、拋物線與x軸的交點(diǎn)等知識；熟練掌握待定系數(shù)法求拋物線和直線的解析式，分兩種情況討論是解決問題（2）的關(guān)鍵．