Question

17．如圖，拋物線y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接BC，AC．
（1）求AB和OC的長；
（2）點E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動（點E與點A，B不重合），過點E作直線l平行BC，交AC于點D，設(shè)AE的長為m，△ADE的面積為s，求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）當(dāng)E為AB的中點時，求出以點E為圓心，與BC相切的圓的面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)坐標(biāo)軸上點的特點求出點A，B，C的坐標(biāo)即可得出結(jié)論；
（2）先求出△ABC的面積，再判斷出△ADE∽△ACB，即可得出結(jié)論；
（3）先求出BC，BE，再判斷出△BEF∽△BCO得出比例式即可求出EF，最后用圓的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令y=0，則$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-4=0，
∴x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
令x=0，則y=-4，
∴C（0，-4），
∴OC=4，

（2）在△ABC中，AB=4，OC=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
∵DE∥CB，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=（\frac{AE}{AB}）^{2}$，
∴$\frac{s}{8}=（\frac{m}{4}）^{2}$，
∴s=$\frac{1}{2}$m²（0＜m＜4）．

（3）如圖，

過點E作EF⊥BC于F，
∴△BEF∽△BCO，
∴$\frac{EF}{OC}=\frac{BE}{BC}$，
∵點E是AB中點
∴BE=2，
根據(jù)勾股定理得，BC²=OC²+OB²，
∴BC²=4²+3²=25，
∴BC=5，
將BE=2，BC=5，OC=4代入$\frac{EF}{OC}=\frac{BE}{BC}$，得，EF=$\frac{8}{5}$，
∴以點E為圓心，與BC相切的圓的半徑為$\frac{8}{5}$，面積為π×（$\frac{8}{5}$）²=$\frac{64}{25}$π．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了坐標(biāo)軸上點的特點，三角形的面積公式，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的面積公式，解（1）的關(guān)鍵是求出點A，B，C的坐標(biāo)，解（2）的關(guān)鍵是判斷出△ADE∽△ACB，解（3）的關(guān)鍵是求出BC=5，是一道中等難度的題目．