Question

6．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AP∥BC，且CP=BC交AB于點(diǎn)E，求證：BP=BE．

Answer 1

分析 作AF⊥BC于F，PG⊥BC于G．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證得AF=$\frac{1}{2}$BC，由矩形的性質(zhì)得到PG=AF=$\frac{1}{2}$BC，于是得到PG=$\frac{1}{2}$PC，從而推出∠PCB=30°，由三角形內(nèi)角求得∠BPC=75°，由∠PEB=∠PCB+∠EBC=75°，即∠PEB=∠PCB，有等腰三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)論．

解答 證明：作AF⊥BC于F，PG⊥BC于G．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AF為BC上的中線．（等腰三角形“三線合一“）
∴AF=$\frac{1}{2}$BC，
又AP∥BC，
∴PG=AF=$\frac{1}{2}$BC，
又PC=BC，
∴PG=$\frac{1}{2}$PC，
∴∠PCB=30°，
∴∠BPC=$\frac{1}{2}$（180°-∠PCB）=75°，
又∠PEB=∠PCB+∠EBC=75°，
∴∠PEB=∠PCB，
∴PB=BE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30°直角三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟練應(yīng)用等腰三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．