Question

4．閱讀材料：若a，b都是非負(fù)實數(shù)，則a+b≥2$\sqrt{ab}$．當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，“=”成立．
證明∵（$\sqrt{a}$-$\sqrt$）²≥0，∴a-2$\sqrt{ab}$+b≥0．∴a+b≥2$\sqrt{ab}$．當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，“=”成立．
（1）已知x＞0，求函數(shù)y=2x+$\frac{2}{x}$的最小值．
（2）問題解決：
汽車的經(jīng)濟時速是指汽車最省油的行駛速度．某種汽車在每小時70～110公里之間行駛時（含70公里和110公里），每公里耗油（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{{x}^{2}}$）升．若該汽車以每小時x公里的速度勻速行駛，1小時的耗油量為y升．
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x的取值范圍）；
②求該汽車的經(jīng)濟時速及經(jīng)濟時速的百公里耗油量（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)y=2x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2x×\frac{2}{x}}$=4．得到當(dāng)且僅當(dāng)2x=$\frac{2}{x}$，即x=1時，“=”成立．從而確定當(dāng)x=1時，函數(shù)取得最小值，y_最小=4；
（2）①根據(jù)耗油總量=每公里的耗油量×行駛的速度列出函數(shù)關(guān)系式即可；
②經(jīng)濟時速就是耗油量最小的形式速度．

解答 解：（1）y=2x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2x×\frac{2}{x}}$=4．當(dāng)且僅當(dāng)2x=$\frac{2}{x}$，即x=1時，“=”成立．
當(dāng)x=1時，函數(shù)取得最小值，y_最小=4；
（2）①∵汽車在每小時70～110公里之間行駛時（含70公里和110公里），每公里耗油（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{x2}$）升，
∴y=x×（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{x2}$）=$\frac{x}{18}$+$\frac{450}{x}$（70≤x≤110）；
②根據(jù)材料得：當(dāng)$\frac{x}{18}$=$\frac{450}{x}$時有最小值，
解得：x=90，
經(jīng)檢驗x=90是原方程的解，
∴該汽車的經(jīng)濟時速為90千米/時；
當(dāng)x=90時百公里耗油量為100×（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{8100}$）≈11.1（升）．

點評 考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題目提供的材料，易錯點是了解“耗油總量=每公里的耗油量×行駛的速度”，難度中等偏上．