Question

觀察下列等式：
①1-

1

2

=

1

1×2

；②

1

2

-

1

3

=

1

2×3

；③

1

3

-

1

4

=

1

3×4

；④

1

4

-

1

5

=

1

4×5

；…
（1）猜想并寫出第n個(gè)算式：

 

；
（2）請(qǐng)說明你寫出的算式的正確性：

 

；
（3）計(jì)算下列式子的值（寫出過程）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

．

Answer 1

考點(diǎn)：分式的加減法

專題：規(guī)律型

分析：（1）根據(jù)所給出的等式找出規(guī)律，即可得出第n個(gè)算式是

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

；
（2）根據(jù)（1）得出的規(guī)律和分式的加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案；
（3）根據(jù)（1）得出的規(guī)律

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

，再把要求的式子進(jìn)行整理，然后進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．

解答：解：（1）第n個(gè)算式：

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

；
（2）

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

；
（3）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
故答案為：

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

；

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

；

點(diǎn)評(píng)：此題考查了分式的加減，在分式的加減運(yùn)算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式，然后再相加減．