Question

15．如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為$\frac{1}{2}$的長方形，接著再把面積為$\frac{1}{2}$的一個長方形分成兩個面積為$\frac{1}{4}$的長方形，再把面積為$\frac{1}{4}$的一個長方形分成兩個面積為$\frac{1}{8}$的長方形，如此進行下去．
（1）第8次等分所得的一個小長方形面積為多少？
（2）試利用圖形揭示的規(guī)律計算：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{64}$+$\frac{1}{128}$+$\frac{1}{256}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)第n次等分所得的一個小長方形面積為a_n（n為正整數(shù)），根據(jù)面積的變化找出變化規(guī)律“a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$”，以此規(guī)律即可得出結(jié)論；
（2）結(jié)合圖形可知$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{64}$+$\frac{1}{128}$+$\frac{1}{256}$=1-$\frac{1}{256}$，算出結(jié)論即可．

解答 解：（1）設(shè)第n次等分所得的一個小長方形面積為a_n（n為正整數(shù)），
觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{1}{4}$，a₃=$\frac{1}{8}$，a₄=$\frac{1}{16}$，…，
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$，
當(dāng)n=8時，a₈=$\frac{1}{256}$，
∴第8次等分所得的一個小長方形面積為$\frac{1}{256}$．
（2）根據(jù)圖形可知：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{64}$+$\frac{1}{128}$+$\frac{1}{256}$=1-$\frac{1}{256}$=$\frac{255}{256}$．

點評 本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)面積的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．