Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高，點E在邊AB上，且BE=BC，過點E作EF∥AC，交CD于F點，連接BF．
（1）若BC=10，BD=6，求線段EF的長；
（2）求證：∠CBF=45°-$\frac{1}{2}$∠DCB．

Answer 1

分析 （1）由條件可得∠DFE=∠DBC，且∠EDF=∠CDB，可證得△DEF∽△DCB，利用對應邊的比相等可求得EF；
（2）連接CE，利用等腰三角形的性質和平行的性質可得到∠FEC=∠FCE，可證得EF=CF，結合BE=BC，可知BF為CE的垂直平分線，結合等腰三角形的“三線合一”的性質可得到BF平分∠ABC，然后由直角三角形的性質得到結論．

解答 （1）解：∵CD⊥AB，
∴∠EDF=∠CDB，
∵EF∥AC，
∴∠EFD=∠A，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠DBC=∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠DFE=∠DBC，
∴△DEF∽△DCB，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{DE}{DC}$，
∵BC=BE=10，BD=6，
∴CD=8，DE=BE-BD=4，
∴$\frac{EF}{10}$=$\frac{4}{8}$，
∴EF=5；

（2）證明：
如圖，連結EC，
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠A=∠DCB，
∵EF∥AC，
∴∠A=∠FEB，
∴∠FEB=∠FCB，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∴∠FEC=∠FCE，
∴EF=CF，
∴BF⊥EC，
又BE=BC，
∴BF平分∠ABC，
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠DBC=$\frac{1}{2}$（90°-∠DCB）=45°-$\frac{1}{2}$∠DCB．

點評 本題主要考查相似三角形的判定和性質及全等三角形的判定和性質，利用相似求得EF的長是解題的關鍵，注意角平分線的判定方法可以證明角相等也可以證明點到角兩邊的距離相等．