Question

15．如圖1，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD，垂足為點(diǎn)G，連接AD，過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為點(diǎn)F，與AB相交于點(diǎn)H，與⊙O相交于點(diǎn)E，連接DE．
（1）求證：∠E=2∠C；
（2）求證：DE=CH；
（3）如圖2，連接BE，分別于AD、CD相交于點(diǎn)M、N，當(dāng)OH=2OG，HF=$\sqrt{10}$時，求線段EN的長．

Answer 1

分析 （1）連接AC，根據(jù)垂徑定理和等弧所對的圓周角相等，結(jié)合等角的余角相等即可證明結(jié)論；
（2）連接BC，運(yùn)用同�。ǖ然。┧鶎Φ膱A周角相等，結(jié)合同角的余角相等和等量代換即可證明；先證明BC=CH，再證明BC=DE；
（3）根據(jù)已知設(shè)出OG和OH，結(jié)合（2）表示BG，進(jìn)而用x表示半徑、直徑，結(jié)合勾股定理表示CH，BE，結(jié)合△BGN∽△BEA，即可求解．

解答 解：（1）如圖1，

連接AC，
∵直徑AB⊥弦CD，
∴弧BC=弧BD，∠CAB=∠BAD，
∴∠CAD=2∠BAD，
∴∠E=∠CAD=2∠BAD，
易證：∠C+∠CDA=90°，∠BAD+∠CDA=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴∠E=2∠C；
（2）如圖2，

連接BC，由直徑AB⊥弦CD，CF⊥AD，易證：∠CHB=∠ADC，
又∵∠ADC=∠B，
∴∠B=∠CHB，
∴CH=CB，
由（1）知∠E=2∠C，弧BC=弧BD
∴弧CD=2弧DE，
∴弧BC=弧DE，
∴BC=DE，
∴DE=CH；
（3）如圖3，

由OH=2OG，可設(shè)OG=x，則OH=2x，
于是，HG=3x，
由（2）知，BC=CH，
∵AB⊥CD，
∴BG=GH=3x，
∴OB=4x，OC=4x，AB=8x，AH=2x，
由勾股定理可求，BE=$2\sqrt{15}$x，CG=$\sqrt{15}$x，CH=$2\sqrt{6}$x，
∵弧DE=弧BD，
∴∠BAD=∠DCE，
∴sin∠BAD=sin∠DCE，
∴$\frac{HF}{AH}=\frac{HG}{CH}$，
解得：x=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$，
∴BE=$2\sqrt{15}$x=20，
在△BGN與△BEA中，∠GBN=∠EBA，∠BGN=∠BEA=90°，
∴△BGN∽△BEA，
∴$\frac{BN}{AB}=\frac{BG}{BE}$，
∴$\frac{BN}{8x}=\frac{3x}{2\sqrt{15}x}$，
解得：BN=$\frac{24x}{2\sqrt{15}}$=8，
∴EN=BE-BN=12．

點(diǎn)評 此題主要考查圓的綜合問題，熟悉圓的相關(guān)性質(zhì)，會結(jié)合題意靈活運(yùn)用勾股定理和方程思想，會借助相似三角形構(gòu)建等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．