Question

5．如圖，皋蘭山某處有一座信號塔AB，山坡BC的坡度為1：$\sqrt{3}$，現(xiàn)為了測量塔高AB，測量人員選擇山坡C處為一測量點，測得∠DCA=45°，然后他順山坡向上行走100米到達(dá)E處，再測得∠FEA=60°．
（1）求出山坡BC的坡角∠BCD的大�。�
（2）求塔頂A到CD的鉛直高度AD．（結(jié)果保留整數(shù)：$\sqrt{3}≈1.73，\sqrt{2}≈1.41$）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)tan∠BCD=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，進(jìn)而得出答案；
（2）設(shè)AD=x，則CD=AD=x，可得AF=x-50，EF=x-50$\sqrt{3}$，進(jìn)而利用在Rt△AEF中，$\frac{AF}{EF}$=tan60°，求出答案．

解答 解：（1）依題意得：tan∠BCD=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BCD=30°；

（2）方法1：
作EG⊥CD，垂足為G．
在Rt△CEG中，CE=100，∠ECG=30°，
∴EG=CE•sin30°=50，
CG=CE•cos30°=50$\sqrt{3}$，
設(shè)AD=x，則CD=AD=x．
∴AF=x-50，EF=x-50$\sqrt{3}$，
在Rt△AEF中，$\frac{AF}{EF}$=tan60°，
∴$\frac{x-50}{x-50\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．
解得：x=50$\sqrt{3}$+50≈136.5（米）．
答：塔頂A到CD的鉛直高度AD約為137米．
方法2：
∵∠ACD=45°，
∴∠ACE=15°．
∵∠AEF=60°，
∴∠EAF=30°．
∵∠DAC=45°，
∴∠EAC=∠DAC-∠EAF=15°，
∴∠ACE=∠EAC．
∴AE=CE=100．
在Rt△AEF中，∠AEF=60°，
∴AF=AE•sin60°=50$\sqrt{3}$（m），
在Rt△CEG中，CE=100m，∠ECG=30°，
∴EG=CE•sin30°=50m．
∴AD=AF+FD=AF+EG=50$\sqrt{3}$+50≈136.5（米）．
答：塔頂A到CD的鉛直高度AD約為137米．

點評 此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用以及坡角的定義，正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．