Question

4．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，求證：BC=CD．

Answer 1

分析 過點C作CE⊥AB交AB的延長線于E，作CF⊥AD于F，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CE=CF，根據(jù)同角的補角相等求出∠D=∠CBE，然后利用“角角邊”證明△BCE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可．

解答 證明：如圖，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于E，作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴CE=CF，
∵∠ABC+∠CBE=180°，∠ABC+∠D=180°，
∴∠D=∠CBE，
在△BCE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠CBE}\\{∠E=∠CFD=90°}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴BC=CD．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)以及三角形全等的判定方法是解題的關鍵．