Question

18．如圖，F(xiàn)G為⊙O的直徑，$\widehat{HF}$=$\widehat{HG}$，E為$\widehat{HF}$上一點(diǎn)，延長FE至點(diǎn)A，使EA=EG，連接HG．
（1）求證：AH=HG；
（2）延長AH交⊙O于點(diǎn)B，連接BG，若AB=12$\sqrt{2}$，BG=6，求FG的長．

Answer 1

分析 （1）連接EH，F(xiàn)H，可得∠HEG=∠HFG、∠AEH=∠FGH，由FG為⊙O的直徑、$\widehat{HF}$=$\widehat{HG}$知∠AEH=∠GEH=45°，證△AEH≌△GEH即可得；
（2）作GK⊥AB，由$\widehat{HF}$=$\widehat{HG}$、∠FHG=90°知∠HFG=∠FGH=∠HBG=45°，從而得出BK=KG=3$\sqrt{2}$，設(shè)AH=HG=x，則HK=12$\sqrt{2}$-3$\sqrt{2}$-x=9$\sqrt{2}$-x，Rt△HKG中根據(jù)勾股定理列方程求得x的值，即可得出答案．

解答 解：（1）連接EH，F(xiàn)H，

∴∠HEG=∠HFG，∠AEH=∠FGH，
∵FG為⊙O的直徑，$\widehat{HF}$=$\widehat{HG}$，
∴HF=HG，∠FHG=90°，
∴∠HFG=∠HGF=45°，
∠AEH=∠GEH=45°，
在△AEH與△GEH中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=EG}\\{∠AEH=∠GEH}\\{EH=EH}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△GEH，
∴AH=HG；

（2）作GK⊥AB于點(diǎn)K，
∵FG為直徑，
∴∠FHG=90°，
∵$\widehat{HF}$=$\widehat{HG}$，
∴∠HFG=∠FGH=45°，
∵$\widehat{HG}$=$\widehat{HG}$，
∴∠HFG=∠HBG=45°，
∵BG=6，
∴BK=KG=3$\sqrt{2}$，
∵AB=12$\sqrt{2}$，
設(shè)AH=HG=x，
則HK=12$\sqrt{2}$-3$\sqrt{2}$-x=9$\sqrt{2}$-x，
∴Rt△HKG中，（9$\sqrt{2}$-x）²+（3$\sqrt{2}$）²=x²，
解得：x=5$\sqrt{2}$，
∴FG=5$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=10．

點(diǎn)評 本題主要考查圓心角、弧、弦的關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)及圓周角定理，熟練掌握圓心角定理及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．