Question

20．閱讀圖1的情景對話，然后解答問題：

（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題（填“真”或“假”）
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；
（3）如圖2，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與點A、B重合），D是半圓$\widehat{ADB}$的中點，C、D在直徑AB的兩側(cè)，若在⊙O內(nèi)存在點E，使AE=AD，CB=CE．
①求證：△ACE是奇異三角形；
②當(dāng)△ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題中所給的奇異三角形的定義容易得出結(jié)果；
（2）根據(jù)勾股定理與奇異三角形的性質(zhì)，可得a²+b²=c²與a²+c²=2b²，用a表示出b與c，即可求得答案；
（3）①根據(jù)勾股定理得出AC²+BC²=AB²，AD²+BD²=AB²，求出AD=BD，求出AC²+CB²=2AD²，把CB=CE，AE=AD代入求出AC²+CE²=2AE²即可；
②利用（2）中的結(jié)論，分別從AC：AE：CE=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$與AC：AE：CE=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$：1去分析，即可求得結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)等邊三角形的邊長為a，
∵a²+a²=2a²，
∴等邊三角形一定是奇異三角形，
∴“等邊三角形一定是奇異三角形”，是真命題；
故答案為：真；

（2）∵∠C=90°，
則a²+b²=c²①，
∵Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a，
∴a²+c²=2b²②，
由①②得：b=$\sqrt{2}$a，c=$\sqrt{3}$a，
∴a：b：c=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$；

（3）∵①AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，AC²+BC²=AB²，在Rt△ADB中，AD²+BD²=AB²，
∵點D是半圓$\widehat{ADB}$的中點，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
∴AB²=AD²+BD²=2AD²，
∴AC²+CB²=2AD²，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC²+CE²=2AE²，∴△ACE是奇異三角形；
②由①可得△ACE是奇異三角形，∴AC²+CE²=2AE²，
當(dāng)△ACE是直角三角形時，
由（2）得：AC：AE：CE=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$或AC：AE：CE=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$：1，
當(dāng)AC：AE：CE=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$時，AC：CE=1：$\sqrt{3}$，即AC：CB=1：$\sqrt{3}$，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°；
當(dāng)AC：AE：CE=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$：1時，AC：CE=$\sqrt{3}$：1，即AC：CB=$\sqrt{3}$：1，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°．
∴∠AOC的度數(shù)為60°或120°．

點評 本題考查了圓周角定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系；關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理，在解答（2）時要注意分類討論．