Question

2．本題利用代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$的形式特點，把它轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形的問題，從而利用已學過的幾何知識來解決這個代數(shù)問題，這就是建模思想與數(shù)形結(jié)合思想．
（1）請你完成例題的解答；
（2）變式訓練：求代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+16}$+$\sqrt{（10-x）^{2}+4}$的最小值；
（3）拓展練習：解方程$\sqrt{9-{x}^{2}}$+$\sqrt{16-{x}^{2}}$=5．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造圖形如圖所示，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，作點B關(guān)于MN的對稱點D，過D作C′D⊥DB，交AM的延長線于C′，則ND=BN=2，MC′=ND=2，C′D=MN=12，AC′=3+2=5，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)點B關(guān)于AC的對稱點為B′，根據(jù)垂線段最短及兩點之間，線段最短可知當B′、M、N三點共線且B′N⊥AB時BM+MN的值最��；
（3）構(gòu)造圖形如圖2，當AC=3，BC=4，CD=x，∠ADC=∠BDC=90°，由勾股定理得到AD=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，BD=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，AB=5，推出∠ACB=90°，根據(jù)三角形的面積公式即可得到CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）構(gòu)造圖形如圖1所示，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，
其中：AM=3，BN=2，MN=12，設(shè)MP=x，則PN=12-x，
作點B關(guān)于MN的對稱點D，過D作C′D⊥DB，交AM的延長線于C′，則ND=BN=2，MC′=ND=2，C′D=MN=12，AC′=3+2=5，
∴PB=PD，
∵PA+PB=$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$=AD=$\sqrt{AC{′}^{2}+C′{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$=13；

（2）如圖，當AM=4，BN=2，MN=10，設(shè)MP=x，則PN=10-x，
則ND=BN=2，MC′=ND=2，C′D=MN=10，AC′=4+2=6，
∴代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+16}$+$\sqrt{（10-x）^{2}+4}$的最小值=PA+PB=AD，
∵AD=$\sqrt{AC{′}^{2}+C′{D}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
∴所求代數(shù)式的最小值是2$\sqrt{34}$；

（3）構(gòu)造圖形如圖2，當AC=3，BC=4，CD=x，∠ADC=∠BDC=90°，
則AD=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，BD=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，
∴AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
即x=±$\frac{12}{5}$．
經(jīng)檢驗x=±$\frac{12}{5}$都是方程的解．
則方程的解是x=±$\frac{12}{5}$．

點評 此題主要考查軸對稱--最短路線問題．解這類問題的關(guān)鍵是將實際問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，還考查了無理方程的解法．