Question

13．在菱形ABCD中，∠ABC=α，其中點E、F分別在AD和BC上，將菱形ABCD沿EF折疊，點B落在邊CD上的點N處，點A落在M點處．
（1）如圖1，當α=144°，且FN∥BD時．求∠BND的度數(shù)；
（2）如圖2，當α=90°時，MN與AD交于點H；
①若△DHN的周長等于8，求菱形ABCD的周長；
②若AB=4，CN=1，則△DHN的面積為$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 （1）先利用菱形的性質(zhì)，求得∠DBC=72°，∠C=36°，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出BF=NF，最后利用三角形外角性質(zhì)，求得∠BND的度數(shù)；
（2）①先連接BH，過B作BG⊥MN于G，通過判定△BNC≌△BNG，△ABH≌△GBH，得出GN=CN，GH=AH，最后將△DNH的周長轉(zhuǎn)化為AD+CD，求得菱形ABCD的周長；②設CF=x，在Rt△CFN中利用勾股定理求得CF的長，再判定△NCF∽△HDN，利用相似三角形對應邊成比例，求得DH的長，最后計算△DNH的面積．

解答 解：（1）如圖1，在菱形ABCD中，當∠ABC=α=144°時，∠DBC=72°，∠C=36°，
∵FN∥BD，
∴∠NFC=∠DBC=72°，
又∵BN被EF垂直平分，
∴BF=NF，
∴∠FBN=∠FNB=$\frac{1}{2}$∠NFC=36°，
∵∠BND是△BCN的外角，
∴∠BND=∠FBN+∠C=36°+36°=72°；

（2）①如圖2，當∠ABC=α=90°時，菱形ABCD是正方形，
連接BH，過B作BG⊥MN于G，則∠BGN=90°，
由折疊得，∠FNG=90°=∠C，EF垂直平分BN，
∴∠FBN=∠FNB，
又∵∠FBN+∠BNC=90°，∠FNB+∠BNG=90°，
∴∠BNC=∠BNG，
在△BNC和△BNG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGN=∠C}\\{∠BNC=∠BNG}\\{BN=BN}\end{array}\right.$，
∴△BNC≌△BNG（AAS），
∴GN=CN，BG=BC=BA，
在Rt△ABH和Rt△GBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=BH}\\{BA=BG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABH≌Rt△GBH（HL），
∴GH=AH，
∴△DHN的周長=GH+DH+DN+GN=AH+DH+DN+CN=AD+CD，
又∵△DHN的周長等于8，
∴AD+CD=8
∴菱形ABCD的周長=2×8=16；

②當AB=4，CN=1時，BC=4，DN=3，
設CF=x，則BF=NF=4-x，
在Rt△CFN中，1²+x²=（4-x）²，
解得x=$\frac{15}{8}$，
即CF=$\frac{15}{8}$，
∵∠FNC+∠HND=90°，∠FNC+∠NFC=90°，
∴∠HND=∠NFC，
又∵∠D=∠C，
∴△NCF∽△HDN，
∴$\frac{NC}{HD}=\frac{CF}{DN}$，即$\frac{1}{HD}=\frac{\frac{15}{8}}{3}$，
解得HD=$\frac{8}{5}$，
∴△DHN的面積=$\frac{1}{2}$×DH×DN=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{5}$×3=$\frac{12}{5}$．
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點評 本題主要考查了四邊形的綜合應用，解題時注意，如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．在直角三角形中，運用勾股定理可以求得線段的長度．