Question

8．如圖，已知在⊙O中，AB=3，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A=30°．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求出圖中陰影扇形OBD的面積．

Answer 1

分析 （1）由∠A=30°，可求得∠BOC=60°，再根據(jù)垂徑定理得∠BOD=120°，求出BF以及OB的長(zhǎng)即可；
（2）由扇形面積公式求出陰影部分的面積即可．

解答 解：（1）∵AC⊥BD于F，∠A=30°，
∴∠BOC=60°，∠OBF=30°，∠BOD=120°，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，
在Rt△BOF中，OB=$\frac{BF}{sin60°}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{3}$，
即⊙O的半徑為$\sqrt{3}$；
（2）圖中陰影扇形OBD的面積=$\frac{120π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、扇形面積的計(jì)算、以及圓周角定理；熟練掌握垂徑定理，由三角函數(shù)求出半徑是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．