Question

8．如圖，點(diǎn)A（1，4），B（-4，a）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$圖象上，直線AB分別交x軸，y軸于C、D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥y軸，垂足為F，連接AF、BE交于點(diǎn)G．
（1）求k的值及直線AB的解析式；
（2）判斷四邊形ADFE的形狀，并寫(xiě)出證明過(guò)程．

Answer 1

分析 （1）將A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求得k的值，再根據(jù)反比例函數(shù)求得B的坐標(biāo)，最后根據(jù)A、B的坐標(biāo)求得直線解析式；（2）先根據(jù)A、B的坐標(biāo)判斷AE與DF的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)AE與DF的位置關(guān)系，判定四邊形ADFE為平行四邊形．

解答 解：（1）∵A（1，4）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$圖象上，
∴4=$\frac{k}{1}$，即k=4，
∴雙曲線的解析式是y=$\frac{4}{x}$，
將B（-4，a）代入反比例函數(shù)，得a=-1，
∴B（-4，-1），
設(shè)直線AB的解析式為y=k'x+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{k'+b=4}\\{-4k'+b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k'=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=x+3．
（2）四邊形ADFE為平行四邊形
證明：在y=x+3中，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴D（0，3），即OD=3，
∵B（-4，-1），BF⊥y軸，
∴OF=1，
∴DF=3+1=4，
又∵A（1，4），AE⊥x軸，
∴AE=4，
∴AE=DF，
又∵AE∥DF，
∴四邊形ADFE為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．在判定四邊形的形狀時(shí)，依據(jù)是一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．