Question

17．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E為直線AB上一點，且AE：EB=3：1，作EF垂直于直線AC，垂足為F，連接FB，則tan∠CFB的值等于$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 設BC=x，易得AC=$\sqrt{3}$x，進而根據(jù)平行線的性質，可分兩種情況：①E在線段AB上時；②E在AB延長線上時；在Rt△BFC中，根據(jù)三角函數(shù)的定義計算．

解答 解：設BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$x．
∵EF⊥AC，BC⊥AC，
∴EF∥BC．
分兩種情況：
①E在線段AB上時，如圖1，
∵EF∥BC，AE：EB=3：1，
∴AF：FC=AE：EB=3：1，
∴FC=$\frac{1}{4}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x．
在Rt△BFC中，
tan∠CFB=$\frac{BC}{CF}$=$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{4}x}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
②E在AB延長線上時，如圖2，
∵EF∥BC，AE：EB=3：1，
∴AF：FC=AE：EB=3：1，
∴FC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．
在Rt△BFC中，
tan∠CFB=$\frac{BC}{CF}$=$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}x}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了解直角三角形，平行線的性質的運用，注意結合三角函數(shù)的定義解題．