Question

18．如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F，且點(diǎn)F為邊DC的中點(diǎn)，DG⊥AE，垂足為G，若DG=1，EF=2$\sqrt{3}$，則AB的長為4．

Answer 1

分析 由AE為角平分線，得到一對(duì)角相等，再由ABCD為平行四邊形，得到AD與BE平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，等量代換及等角對(duì)等邊得到AD=DF，由F為DC中點(diǎn)，AB=CD，求出AD與DF的長，得出三角形ADF為等腰三角形，根據(jù)三線合一得到G為AF中點(diǎn)，再由三角形ADF與三角形ECF全等，得出AF=EF，求出AG，由勾股定理求出AD，即可得出AB的長．

解答 解：∵AE為∠DAB的平分線，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又∵F為DC的中點(diǎn)，
∴DF=CF，
∴AD=DF=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$AB，
∵DG⊥AE，
∴AG=FG，
∵平行四邊形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠E}&{\;}\\{∠ADE=∠ECF}&{\;}\\{DF=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF=2$\sqrt{3}$，
∴AG=$\sqrt{3}$，
∴AD=$\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}$=2，
∴AB=2AD=4；
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．