Question

10．如圖，已知O為△ABC的外心，P為弧$\widehat{AB}$上一點(diǎn)，過P分別作OA、OB的垂線，它們與△ABC各邊的交點(diǎn)如圖，若PM=MS，求證：PN=NT．

Answer 1

分析 如圖，連接PB、PA，延長PT交⊙O于E，延長PS交⊙O于F，首先證明PN=PM，由△PBN∽△APM，△NTB∽△MAS，推出PM²=SM•NT，根據(jù)PM=PN=SM，即可證明．

解答 證明：如圖，連接PB、PA，延長PT交⊙O于E，延長PS交⊙O于F．

∵OB⊥PE，OA⊥PF，
∴$\widehat{PB}$=$\widehat{PE}$，$\widehat{PA}$=$\widehat{AF}$，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠5=∠1+∠4，∠6=∠2+∠3，
∴∠5=∠6，△PBN∽△APM，
∴PN=PM，$\frac{PN}{AM}$=$\frac{BN}{AM}$，
∴PM²=BN•AM，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{PB}$+$\widehat{PA}$=$\widehat{BE}$+$\widehat{PA}$，
∴∠C=∠1+∠4，
∵∠4+∠CBA+∠1+∠4=180°，∠C+∠CBA+∠CAB=180°，
∴∠4=∠CAB，
∵∠5=∠BNT，∠6=∠AMS，
∴△NTB∽△MAS，
∴$\frac{BN}{SM}$=$\frac{NT}{AM}$，
∴SM•NT=BN•AM，
∴PM²=SM•NT，
∵PM=SM=PN，
∴PN²=PN•NT，
∴PN=NT．

點(diǎn)評 本題考查三角形外接圓-外心、相似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線、構(gòu)造相似三角形解決問題，題目比較難，用了兩次相似，屬于競賽類題目．