Question

9．如圖，在矩形紙片ABCD中，BC=40cm，AB=16cm，M點(diǎn)為BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)G沿B→A→D運(yùn)動（不含端點(diǎn)），將矩形紙片沿直線MG翻折，使得點(diǎn)B落在AD邊上，則折痕長度為10$\sqrt{5}$cm或8$\sqrt{5}$cm．

Answer 1

分析 過F作ME⊥AD于E，可得出四邊形ABME為矩形，利用矩形的性質(zhì)得到AE=BF，AB=EM，分兩種情況考慮：（i）當(dāng)G在AB上，B′落在AE上時，如圖1所示，由折疊的性質(zhì)得到B′M=BM，BG=B′G，在直角三角形EMB′中，利用勾股定理求出B′E的長，由AE-B′E求出AB′的長，設(shè)AG=x，由AB-AG表示出BG，即為B′G，在直角三角形AB′G中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出AG的長，進(jìn)而求出BG的長，在直角三角形GBM中，利用勾股定理即可求出折痕MG的長；（ii）當(dāng)G在AE上，B′落在ED上，如圖2所示，同理求出B′E的長，設(shè)A′G=AG=y，由AE+B′E-AG表示出GB′，在直角三角形A′B′G中，利用勾股定理列出關(guān)于y的方程，求出方程的解得到y(tǒng)的值，求出AG的長，由AE-AG求出GE的長，在直角三角形GEM中，利用勾股定理即可求出折痕MG的長，綜上，得到所有滿足題意的折痕MG的長．

解答 解：如圖1所示，過M作ME⊥AD于E，G在AB上，B′落在AE上，可得四邊形ABME為矩形，

∴EM=AB=16，AE=BM，
又∵BC=40，M為BC的中點(diǎn)，
∴由折疊可得：B′M=BM=$\frac{1}{2}$BC=20，
在Rt△EFB′中，根據(jù)勾股定理得：B′E=$\sqrt{B′{M}^{2}-E{M}^{2}}$=12，
∴AB′=AE+B′E=20+12=32，
設(shè)AG=x，則有GB′=GB=16-x，
在Rt△AGB′中，根據(jù)勾股定理得：GB′²=AG²+A′B′²，
即（16-x）²=x²+8²，
解得：x=6，
∴GB=16-6=10
在Rt△GBF中，根據(jù)勾股定理得：GM=$\sqrt{G{B}^{2}-B{M}^{2}}$=10$\sqrt{5}$；
（ii）如圖2所示，過F作FE⊥AD于E，G在AE上，B′落在ED上，可得四邊形ABME為矩形，

∴EM=AB=16，AE=BM，
又BC=40，M為BC的中點(diǎn)，
∴由折疊可得：B′M=BM=$\frac{1}{2}$BC=20，
在Rt△EMB′中，根據(jù)勾股定理得：B′E=$\sqrt{B′{M}^{2}-E{M}^{2}}$=12，
∴AB′=AE+B′E=20+12=32，
設(shè)AG=A′G=y，則GB′=AB′-AG=AE+EB′-AG=32-y，A′B′=AB=16，
在Rt△A′B′G中，根據(jù)勾股定理得：A′G²+A′B′²=GB′²，
即y²+16²=（32-y）²，
解得：y=12，
∴AG=12，
∴GE=AE-AG=20-12=8，
在Rt△GEM中，根據(jù)勾股定理得：GM=$\sqrt{G{E}^{2}-E{M}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，
綜上，折痕MG=10$\sqrt{5}$或8$\sqrt{5}$．
故答案為：10$\sqrt{5}$cm或8$\sqrt{5}$cm．

點(diǎn)評 此題考查了翻折變換-折疊問題，涉及的知識有：矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用了方程、轉(zhuǎn)化及分類討論的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．